为什么 0.1 + 0.2 不等于 0.3？这篇文章，我们将通过这个示例来分析浮点数在计算机中是如何存储的？
一、定点数
1. 定义
定点数，比较简单，从字面上理解为小数点固定的数。比如，100，3.14，200.08等等都可以看成是定点数。
通常意义上，定点数表示整数或小数，可以分为以下三种情况：
- 纯整数：例如，400，小数点在最后一位，可以忽略
- 纯小数：例如，0.68，小数点固定在最高位
- 整数+小数：例如，3.14、9.18，小数点在指定某个位置
接下来，我们一起看看定点数的十进制和二进制的相互转换。
2. 十进制整数转二进制
将十进制数转换为二进制数，通过不断地除以 2，直到商为 0。步骤：
- 将十进制数除以2，记录商和余数
- 将商再次除以2，记录新的商和余数
- 重复这个过程，直到商为 0为止
- 从下往上读取所有的余数，就得到了转换后的二进制数
比如：将十进制的 38转换成二进制：
38 / 2 = 19 余 0
19 / 2 = 9 余 1
9 / 2 = 4 余 1
4 / 2 = 2 余 0
2 / 2 = 1 余 0
1 / 2 = 0 余 1所以，(38)₁₀ 的二进制是 (100110)₂
3. 二进制整数转十进制
将二进制数转换为十进制数，根据权值展开法，将每一位上的数字与其对应的权值相乘，然后将所有结果相加。权值是 2的幂，从右向左依次增加。
例如，将二进制数 100110转换成十进制：
1*2⁵ + 0*2⁴ + 0*2³ + 1*2² + 1*2¹ + 0*2⁰
= 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 0
= 38所以，(100110)₂ 的十进制是 (38)₁₀
4. 十进制小数转二进制
十进制小数转二进制分两部分：整数部分转换上面已经讲解了，小数部分采用“乘2取整，从上到下顺序排列”。
例如，十进制小数 10.75 转为二进制小数：
# 整数部分
10 / 2 = 5 余 0
5 / 2 = 2 余 1
2 / 2 = 1 余 0
1 / 2 = 0 余 1
# 小数部分
0.75 * 2 = 1.5 取整数部分 1
0.5 * 2 = 1.0 取整数部分 1所以，(10.75)₁₀ 的二进制是 (1010.11)₂
5 二进制小数转十进制
十进制小数转二进制分两部分，整数部分转为二进制上面已经讲解了，小数部分采用“乘2取整，从上到下顺序排列”。
例如，二进制小数转十进制小数：
# 整数部分
1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 0*2⁰
= 8 + 0 + 2 + 0 + 2 + 0 = 10
# 小数部分
1*2⁻¹ + 1*2⁻²
= 0.5 + 0.25
= 0.75
# 整数部分 + 小数部分
10 + 0.75 = 10.7所以，(1010.11)₂ 的十进制是 (10.75)₁₀
6. 定点数的优缺点
(1) 优点
定点数的精度是固定的，可以根据需求进行灵活调整，这使得它们在需要固定精度的应用中非常有用。
(2) 缺点
定点数的精度是固定的，这意味着在处理大范围或者需要高精度的数据时，可能会丢失精度或者溢出。
比如，以 1个字节（8 bit）为例，假如约定前 4位表示整数部分，后 4位表示小数部分，因此，可以表达的最大数是：(1111.1111)₂=(15.9375)₁₀。
如果想要表示更大范围的值，怎么办？
- 增加 bit：比如，使用 2个字节（16 bit）、4个字节（32bit），这样整数部分和小数部分都增加了，表示的数字范围也变大了。
- 小数点右移：小数点右移，整数范围就变大了，因此整个数字范围就变大了，但是小数部分的精度就会越来越低。
因此，对于表示大范围或者高精度的数，定点数存在其局限性，这时候“浮点数”就派上用场了。
二、IEEE 754
在讲解浮点数之前，我们需要先了解一个很重要的标准：IEEE 754，它是 20世纪80年代以来最广泛使用的浮点数运算标准，为许多 CPU、浮点运算器和编程语言（比如 Java）所采用。
这个标准定义了以下规范：
- 表示浮点数的格式（包括负零-0）与反常值（Denormal number）；
- 一些特殊数值（无穷 Inf与非数值 NaN），以及这些数值的浮点数运算；
- 指明了四种数值修约规则和五种例外状况（包括例外发生的时机与处理方式）；
另外，在 IEEE 754标准推出之前，各个计算机公司对于浮点数的表示没有一个业界通用的标准，这给数据交换、计算机协同工作造成了极大不便，直到 1985年，IEEE 组织推出了 IEEE 754浮点数标准，才结束了这混乱的局面。
三、浮点数
1. 什么是浮点数？
浮点数，是相对定点数而言的，从字面上可以解释为：小数点在浮动的数。在计算机科学中，浮点数是一种用于表示带有小数点的实数的数据类型，通常采用了科学计数法表示。
如下例子，十进制小数 300.14，用科学计数法表示，可以有多种方式，整体看上去，小数点好像在浮动。
300.14 = 30.014 × 10¹
300.14 = 3.0014 × 10²
300.14 = 0.31004 × 10³在 IEEE 754标准中，浮点数在内存中以二进制形式存储，分为四个部分：符号位、基数、指数部分和尾数部分。
- 符号位（Sign bit）：用于表示数值的正负。0表示正数，1表示负数。
- 指数部分（Exponent）：用于表示数值的大小范围。该部分存储的是一个无符号整数，通常采用偏移表示，即用实际指数加上一个固定偏移值。
- 基数（Base）：也称为进制或底数，常见的基数包括十进制（基数为10）、二进制（基数为2）、八进制（基数为8）、十六进制（基数为16）等。
- 尾数部分（Mantissa/Significand）：用于表示数值的精度和小数部分。在IEEE 754中，尾数总是处于[1,2)之间的一个小数，这样可以省略掉小数点前面的 1，从而节省了一个 bit。注意：significand 和 mantissa 都是用来指代浮点数中的尾数部分，只不过 mantissa是早期计算机的叫法。两个术语可以互换，用来表示浮点数中的尾数部分。
下图以 300.14为例展示了一个浮点数的构成：
2. 浮点数的精度
在IEEE 754标准中规定了 4种主要的浮点数类型：单精度浮点数（float）、双精度浮点数（double）、延伸单精确度以及延伸双精确度。
(1) 单精度浮点数（float）
单精度浮点数占用 32位（4个字节），其中，符号占 1位，指数部分占 8位，尾数部分占 23位。指数部分可以表示的范围是 0～255，因为存在偏移量，因此指数的实际范围是从-126～+127，即 2⁻¹²⁶～2¹²⁷，转换成十进制，范围大约为 ±3.4x10⁻³⁸ 到 ±3.4x10³⁸之间。
(2) 双精度浮点数（double）
双精度浮点数占用 64位（8个字节），其中，符号占 1位，指数部分占 11位，尾数部分占 52位。指数部分可以表示的范围是 0～2047，因为存在偏移量，因此指数的实际范围是从-1022～+1023，即 2⁻¹⁰²²～ 2¹⁰²³，转换成十进制，范围大约为 ±1.7x10⁻³⁰⁸ 到 ±1.7x10³⁰⁸之间。
(3) 延伸单精确度
因为不常用，所以本文不进行讲解。
(4) 延伸双精确度
因为不常用，所以本文不进行讲解。
关于单精度浮点数和双精度浮点数的二进制表示如下图：
在了解完定点数和浮点数的一些基本概念之后，接下来讲解浮点数使用IEEE 754标准在内存是如何使用二进制存储的， 这里是IEEE 754标准的精华部分，也是比较难理解的部分，我会通过实际的例子结合图形进行分析。
3. 浮点数的IEEE754转换
(1) 十进制转二进制
这里以十进制转 IEEE754单精度浮点数并且无精度丢失为例，核心流程包含 5个步骤：
① 确认 Sign符号位
比如，19.59375的符号为 0（正数），-1.1的符号为 1（负数），将结果值（0/1）填充到二进制的 Sign bit区域。
② 将十进制转成纯二进制
这个步骤，只是纯粹地将十进制转换成二进制。
- 对于整数部分，通过不断地除以 2，直到商为 0；
- 对于小数部分，采用逐步乘 2取整，直到小数部分为 0或达到尾数所需的精度；
需要注意，对于小数部分处理结束的条件有 2个：小数部分为0 或 达到尾数所需的精度。只要满足一个就OK，这里也是为什么小数会丢精度的关键所在，在下面的例子会进行讲解。
对于没有精度丢失的转换，结束的条件是：小数部分为 0。
比如，0.25转成二进制
0.25 x 2 = 0.5 0
0.5 x 2 = 1.0 1 小数部分为0，结束③ 标准化以确定尾数和无偏移指数
根据 IEEE 754标准，需要将二进制小数点放在最左边的 1 之后，比如，100.101需要左移 2位，变成 1.00101x2²，无偏移指数是 2；0.0011需要右移 3位，变成 1.1x2⁻³，无偏移指数是 -3。
这个步骤其实就是 IEEE 754标准的一个硬性规定，解决了上面提到的浮点数漂浮不定的问题。
④ 确认偏移指数
偏移指数，即用无偏移指数（步骤3 产生的结果）加上固定的偏移值127(2⁸-1=127)，再转换成二进制。
假如，无偏移指数是 4，那么，偏移指数就等于4+127=131，转换成二进制就是10000011，然后，将二进制结果值10000011填充到 Exponent指数区域。
⑤ 移除尾数的前导 1
在步骤3中，需要将二进制小数点放在最左边的 1 之后，因此，每个小数点前面的值都是固定的 1（也叫做前导 1），在 IEEE 754标准中，会将这个前导 1移除，从而节省了 1个bit，再将结果值填充到二进制的 Significand尾数区域，不足部分填 0。
比如，1.001110011 移除小数点前固定的 1 变成了001110011，然后将结果值001110011填充到 Significand尾数区域。
为了更好的解释上面 5个步骤，这里以十进制19.59375转换成IEEE 754二进制为例进行讲解，整个过程如下图：
(2) 十进制转二进制
这里以十进制转 IEEE754单精度浮点数并且有精度丢失为例，核心流程包含 6个步骤：
① 确认 Sign符号位
比如，19.59375的符号为 0（正数），-1.1的符号为 1（负数），将结果值（0/1）填充到二进制的 Sign bit区域。
② 将十进制转成纯二进制
这个步骤，只是纯粹地将十进制转换成二进制。
- 对于整数部分，通过不断地除以 2，直到商为 0；
- 对于小数部分，采用逐步乘 2取整，直到小数部分为 0或达到所需的精度；
需要注意，对于小数部分处理结束的条件有 2个：小数部分为0 或 达到尾数所需的精度。
对于有精度丢失的转换，结束的条件是：达到所需的精度。
比如，0.3转成二进制
0.3 x 2 = 0.6 0
0.6 x 2 = 1.2 1
0.2 x 2 = 0.4 0
0.4 x 2 = 0.8 0
0.8 x 2 = 1.6 1
0.6 x 2 = 1.2 1 开始进入循环，只能达到所需的精度后按需舍入结束
0.2 x 2 = 0.4 0③ 标准化以确定尾数和无偏移指数
根据 IEEE 754标准，需要将二进制小数点放在最左边的 1 之后，比如，100.101需要左移 2位，变成 1.00101x2²，无偏移指数是 2；0.0011需要右移 3位，变成 1.1x2⁻³，无偏移指数是 -3。
这个步骤其实就是 IEEE 754标准的一个硬性规定，解决了上面提到的浮点数漂浮不定的问题。
④ 确认偏移指数
偏移指数，即用无偏移指数（步骤3 产生的结果）加上固定的偏移值127(2⁸-1=127)，再转换成二进制。
假如，无偏移指数是 4，那么，偏移指数就等于4+127=131，转换成二进制就是10000011，然后，将二进制结果值10000011填充到 Exponent指数区域。
⑤ 移除尾数的前导 1
在步骤3中，需要将二进制小数点放在最左边的 1 之后，因此，每个小数点前面的值都是固定的 1（也叫做前导 1），在 IEEE 754标准中，会将这个前导 1移除，从而节省了 1bit，再将结果值填充到二进制的 Significand尾数区域，不足部分填0。
比如，1.001110011 移除小数点前固定的 1 变成了001110011，然后将结果值001110011填充到 Significand尾数区域。
⑥ 按需向上或者向下舍入
在步骤2中，小数部分转换成二进制的时候不是因为乘 2使得小数部分为 0结束，而是因为产生了循环，导致达到了尾数所需的精度（单精度 23bit，双精度 52bit），对于超出的精度范围，需要如何处理？
答案：按需向上或者向下舍入
为了更好的解释上面 6个步骤，这里以十进制-123.3转换成 IEEE 754二进制为例进行讲解，整体流程如下图：
注意：截图中步骤6黄色字体1001，是指超出尾数 23bit范围的二进制数，需要被舍入
通过上面两个例子的分析，相信大家还是会有困惑：为什么是二进制中存储的是偏移指数而不是指针？为什么偏移指数是通过指数加上一个固定的偏移值？这个固定的偏移值是怎么计算的？为什么尾数需要把前导 1移除？IEEE 754 的舍入规则是什么？下面我们就一一解答。
(3) 二进制转十进制
为了帮助大家更好地理解 IEEE 754的转换，这里还提供了 2个 IEEE 754单精度浮点数二进制转十进制的逆向例子，如下图：
(4) 偏移指数
偏移指数，也叫指数偏移值（exponent bias），即浮点数表示法中指数域的编码值，等于指数的实际值加上某个固定的偏移值，IEEE 754标准规定该固定值偏移为2 ͤ⁻¹-1，其中 e为存储指数的 bit长度，因此，单精度浮点数的固定偏移值是2⁸⁻¹-1=127，双精度浮点数的固定偏移值是2¹¹⁻¹-1=1023。
(5) 为什么需要偏移指数？
从 1.00101 x 2² 和 1.1 x 2⁻³ 可以看出来，指数有正负数的区分，即有符号的区分，因此，IEEE 754标准中的偏移指数主要解决两个问题：
- 表示负指数：在使用二进制表示浮点数的指数时，如果采用纯粹的二进制表示，那么需要额外的符号位来表示指数的正负。采用偏移指数的方式，可以将指数全部看作非负数，因为将偏移量添加到指数部分后，所有的指数都是正数，0则表示了最小的指数。
- 排序浮点数：使用偏移指数的方式可以更容易地对浮点数进行排序。因此第 1点已经把指数全部转换成了无符号，所以，浮点数的比较直接变成了对二进制的自然排序比较，不需要单独处理符号位和指数部分的符号。
(6) 固定值偏移值如何计算？
① 单精度浮点数
对于单精度浮点数，它的指数域是 8个bit，表示的有符号范围是-127～128(-2⁷-1 ~ 2⁷)，如何让这个范围 >=0 ？
答案：加上 127。所以，IEEE 754标准把 127设定为单精度浮点数的固定偏移值。
② 双精度浮点数
同理，对于双精度浮点数，它的指数域是 11个bit，表示的有符号范围是-1023～1024(-2¹⁰-1 ~ 2¹⁰)，如何让这个范围 >=0 ？
答案：加上 1023。所以，IEEE 754标准把 1023设定为双精度浮点数的固定偏移值。
具体信息如下图：
(7) 为什么要移除尾数的前导 1？
在讲解浮点数构成时提过，浮点数的小数点是浮动的，因此，IEEE 754标准定义了一套固定的格式：在二进制数中，通过移位，将小数点前面的值固定为 1，IEEE754 称这种形式的浮点数为规范化浮点数。
因此，对于规范化浮点数，既然尾数的前导永远是 1，那干脆不存储，尾数其实比实际的多 1位，也就是说单精度的是 24位，双精度是 52位。
(8) IEEE 754 的舍入规则
关于舍入，IEEE 754标准提供了 4种方法：
① 舍入到最接近
这是 IEEE 754标准的默认方式，将结果舍入为最接近且可以表示的值，但是当存在两个数一样接近的时候，则取其中的偶数（在二进制中是以0结尾的）。
取偶数最关键的步骤是找到一个中间值，先确定要保留的有效数字，找到要保留的有效数字最低位的下一位。如果这位是进制的一半，而且之后的位数都为 0，则这个值就是中间值。
这里以二进制为例，有效位数保留到小数点后 2位：
- 10.00011，中间值为 10.00100，小于中间值，向下舍入为 10.00
- 10.00110，中间值为 10.00100，大于中间值，向上舍入为 10.01
- 10.11100，中间值为 10.11100，等于中间值，要保留的最低有效位 1 为奇数，向上舍入为 11.00
- 10.10100，中间值为 10.10100，等于中间值，要保留的最低有效位 0 为偶数，向下舍入为 10.10
因此，上述十进制-123.3转换成 IEEE 754二进制例子的舍入方式，采用向上舍入，即最后一位 +1。
② 朝 +∞方向舍入
3个要点：
- 正数多余位不全为 0，进位1
- 正数多余位全为 0，直接截尾
- 负数直接截尾
这里以二进制为例，有效位数保留到小数点后 3位：
- 0.0011001，正数，从小数点后 4位起，不全为0，则向上进位（最后一位 +1），结果值为 1.010，
- 0.0010000，正数，从小数点后 4位起，全为0，则直接截尾（从 4位起全部舍弃），结果值为 0.001
- -0.0011010，负数直接截尾（从 4位起全部舍弃），结果值为 -0.001
③ 朝 -∞方向舍入
3个要点：
- 正数直接截尾
- 负数多余位全为0，直接截尾
- 负数多余位不全为 0，进位1
这里以二进制为例，有效位数保留到小数点后 3位：
- 0.0011001，正数，则直接截尾（从 4位起全部舍弃），结果值为 0.001
- -0.001000，负数，从小数点后 4位起全为 0，则直接截尾（从 4位起全部舍弃），结果值 -0.001
- -0.001101，负数，从小数点后 4位起不全为 0，则向上进位（最后一位 +1），结果值-0.010
④ 朝 0方向舍入
2个要点：
- 正数直接截尾
- 负数直接截尾
数学上有 4舍5入，计算机中 0舍1入，因此，朝 0方向舍入就是直接舍弃。
这里以二进制为例，有效位数保留到小数点后 3位：
- 0.001100，正数，则直接截尾（从 4位起全部舍弃）弃，结果值 0.001
- -0.001100，负数，则直接截尾（从 4位起全部舍弃）弃，结果值 -0.001
四、非规范浮点数
上文提到了规范化浮点数，既然有规范化浮点数，是不是也存在非规范化浮点数？非规范化浮点数又是什么呢？
在 IEEE 754标准中，将“指数部分全是0，尾数部分非0”这样的浮点数称为非规范化浮点数，一般用于表示 0或者无限接近 0的很小的数字。
另外，IEEE 754标准还规定：非规范化浮点数的指数偏移值比规范化浮点数的指数偏移值小 1。
例如，最小的规范化单精度浮点数的指数部分编码值为1，指数的实际值为-126；而非规范化的单精度浮点数的指数域编码值为0，对应的指数实际值也是 -126 而不是-127。实际上非规范化浮点数仍然是有效可以使用的，只是它们的绝对值已经小于所有的规约浮点数的绝对值；即所有的非规范化浮点数比规约浮点数更接近0。规约浮点数的尾数大于等于1且小于2，而非规范化浮点数的尾数小于1且大于0。
下图展示了非规范化单精度浮点数的二进制表示：
五、特殊值
另外，IEEE 754中还定义4个特殊值，如下表：
- 正负无穷大：指数全是 1，尾数全是 0，代表这个数是正负无穷大（±∞），正负取决于 S符号位。
- NaN：指数全是 1，尾数非 0，代表这不是一个数字（NaN，Not a Number）。
- 0：指数全是 0，尾数全是0，代表这个数是±0，正负取决于 S符号位。
- 很小的值：指数全是 0，尾数不全是0，代表这个数是一个很小的非规范化浮点数。
六、浮点数的比较和运算
有了 IEEE 754标准，浮点数的比较就很简单，基本上可以按照符号位、指数域、尾数域的顺序作字典比较。显然，所有正数大于负数；正负号相同时，指数的二进制表示法更大的其浮点数值更大。
浮点数的运算和函数包含以下几种:
- 加减乘除（Add、subtract、multiply、divide）。在加减运算中负零与零相等：−0.0=0.0
- 平方根（Square root）：
- 浮点余数。返回值 x-(round(x/y)*y)。
- 近似到最近的整数 𝑟 𝑜 𝑢 𝑛 𝑑(𝑥)。如果恰好在两个相邻整数之间，则近似到偶数。
- 比较运算. -Inf <负的规范化浮点数数<负的非规范化浮点数< -0.0 = 0.0 <正的非规范化浮点数<正的规范化浮点数< Inf；
- 特殊比较：-Inf = -Inf, Inf = Inf, NaN与任何浮点数（包括自身）的比较结果都为假，即 (NaN ≠ x) = false.
七、为什么 1.0-0.9 != 0.1?
先看 Java中的一个例子：
通过运行结果可以发现：在 Java中，不管是单精度 float，还是双精度 double，1.0 - 0.9 != 0.1，为什么？
从上面的讲解，我们已经知道浮点数 IEEE 754标准在内存中的存储方式，这里我们再简单的分析1.0 - 0.9场景：
1.0 可以精确转换成IEEE 754标准二进制为：0 01111111 00000000000000000000000
0.9 转换成IEEE 754标准二进制为：
符号位：0
偏移指数：-1 + 127 = (126)₁₀ = (0111 1110)₂
尾数：
0.9 x 2 = 1.8 1
0.8 x 2 = 1.6 1
0.6 x 2 = 1.2 1
0.2 x 2 = 0.4 0
0.4 x 2 = 0.8 0
0.8 x 2 = 1.6 1 开始进入循环，只能达到所需的精度后按需舍入结束
0.6 x 2 = 1.2 1在0.9 转换成 IEEE 754标准的二进制时，出现了循环，这样的话，不管是单精度还是双精度，0.9转换成二进制之后都有精度损失，所以，对于 float 或者 double浮点数 0.9，转换后其真实值已经不是 0.9，因此，1.0 - 0.9 != 0.1。
当然，除了这个例子，还有很多经典的例子，比如 w s m 为什么等于 0.30000000000000004?
八、总结
本文讲解了定点数和浮点数，重点分析了浮点数以及IEEE 754标准下浮点数是如何存储的。
- 浮点数一般用科学计数法表示
- IEEE 754标准的浮点数二进制实际包含：符号位，偏移指数，尾数 3部分。
- 十进制小数在转换为二进制时，如果可以精确转换，则不存在精度丢失。
- 十进制小数在转换为二进制时，如果无法精确转换（存在循环或者超出尾数的范围），则存在精度丢失的问题。
- IEEE 754舍入规则有 4种方法：舍入到最接近、朝 +∞方向舍入、朝 -∞方向舍入以及朝 0方向舍入。
