SymPy 是一个 Python 库，专注于符号计算，提供了处理数学表达式、方程和公式的工具。与数值计算库不同，SymPy 能够进行符号微分、积分、极限等运算，适用于代数运算、微积分和方程求解等。与传统的数值计算库（如 NumPy）不同，SymPy 主要用于处理数学表达式、方程和公式的符号计算，而不是进行数值计算。
它支持多项式运算、矩阵操作、特征值计算等线性代数功能，并能处理数论和组合数学中的问题。SymPy 还具备简化数学表达式的功能，并能绘制数学函数和图形。作为一个完全用 Python 实现的开源库，SymPy 易于集成到 Python 环境中，广泛应用于学术研究、教育以及需要符号计算的领域。
什么是 SymPy？
它是计算机代数系统（computer alegebra systems，CAS）的一部分：一个允许我们进行代数和数学计算的库。
主要功能：
- 简化、重排、因式分解和展开代数表达式和方程。
- 求解各种类型的方程，包括线性方程、多项式方程和微分方程。
- 执行微积分运算，包括微分和积分。
- 绘制图形。
- 生成原始 LaTeX 输出。
- 生成渲染的 LaTeX 输出。
安装SymPy
pip install sympy
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简化和展开
首先，导入 SymPy。然后定义 SymPy 变量，才能使用它们。通过创建 SymPy 的 symbols 来实现这一点。这些符号代表了数学变量：
import sympy
from sympy import latex
a, b, x, y = sympy.symbols("a b x y")
display(a,b,x,y)
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然后，我们可以构建表达式和方程：
from IPython.display import Markdown, display
a = (x + 1)**2
b = x**2 + 2*x + 1
display(a)
print(latex(a))
display(b)
# Expand a...
expanded = sympy.expand(a)
display(Markdown(f"$a = {latex(expanded)}$"))
# Show a-b without simplifying...
a_minus_b = a-b
display(Markdown(f"$a-b = {latex(a_minus_b)}$"))
# Simplify...
display(Markdown(f"$a-b$ $= {latex(sympy.simplify(a_minus_b))}$"))
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等式判断
我们可以测试两个表达式是否相同，方法如下：
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变量赋值和评估
在定义了一个 SymPy 符号并将其分配给 Python 变量后，不能简单地给 Python 变量赋值。如果这样做，变量将不再是一个符号。相反，你需要使用 subs() 方法将值与 SymPy 符号关联起来：
x, y = sympy.symbols("x y")
expr = x+y
result = expr.subs({x: 2, y: 5})
print(f"{expr=}, {result=}")
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微分和积分
在 SymPy 中，积分和微分非常简单：
x = sympy.symbols("x")
expr = x**2
display(expr)
deriv = sympy.diff(expr)
display(deriv)
integral = sympy.integrate(deriv)
display(integral)
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求解二次方程
求解二次方程很简单，只需提供二次方程的系数，然后运行 SymPy 的 solve() 函数即可：
expr = x**2 + 3*x - 10
solutions = sympy.solve(expr, x, dict=True)
for solution in solutions:
print(f"x={solution[x]}")
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有时，我们只希望看到实数解，而不是复数解。（复数解是包含虚数部分的解，即以负数平方根表示的解。）在这种情况下，我们可以使用 solveset() 并指定仅允许实数的域。例如：
expressions = []
expressions.append(x**2 - 9)
expressions.append(x**2 + 9)
for expr in expressions:
display(expr)
solutions = sympy.solveset(expr, x)
display(solutions)
display(expressions[-1])
solutions = sympy.solveset(expressions[-1], x, domain=sympy.S.Reals)
print(f"There are {len(solutions)} real solutions for x.")
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转换为数值
SymPy 返回的结果是精确的数学符号。但有时我们希望将这些结果转换为数值表示，可以使用evalf 函数。示例如下：
expr=sympy.sqrt(8)
display(expr)
display(expr.evalf(4))
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绘制图形
使用 SymPy 绘制图形使用 SymPy 的 plot 函数，支持函数、隐函数和参数方程，下面是小几个例子。
- 绘制简单的函数图形：
from sympy import symbols
from sympy.plotting import plot
x = symbols('x')
f = x**2 + 2*x + 1
plot(f, (x, -10, 10), title="Plot of f(x) = x^2 + 2x + 1")
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- 绘制多个函数在同一图形上
from sympy import symbols
from sympy.plotting import plot
x = symbols('x')
f = x**2
g = x**3
plot(f, g, (x, -10, 10), title="Plot of f(x) = x^2 and g(x) = x^3",legend=True)
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- 绘制隐函数图形
from sympy import symbols, Eq
from sympy.plotting import plot_implicit
x, y = symbols('x y')
eq = Eq(x**2 + y**2, 9)
plot_implicit(eq, (x, -5, 5), (y, -5, 5), title="Plot of Circle x^2 + y^2 = 9")
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- 绘制参数方程图形
from sympy import symbols, cos, sin, pi
from sympy.plotting import plot_parametric
t = symbols('t')
x = cos(t)
y = sin(t)
plot_parametric(x, y, (t, 0, 2*pi), title="Plot of a Circle")
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SymPy 非常适合需要代数运算的问题。它可以用于求解复杂的方程和进行微积分运算。这里提供了一个快速入门的概述，并展示了一些使用 SymPy 的简单例子。
