多层感知器 (Multi-Layer Perceptrons，MLP) ，也被称为全连接前馈神经网络，是当今深度学习模型的基本组成部分。MLP 的重要性无论怎样强调都不为过，因为它是机器学习中用于逼近非线性函数的默认方法。
然而，MLP 也存在某些局限性，例如难以解释学习到的表示，以及难以灵活地扩展网络规模。
KAN（Kolmogorov–Arnold Networks）的出现，为传统 MLP 提供了一种创新的替代方案。该方法在准确性和可解释性方面优于 MLP，而且，它能以非常少的参数量胜过以更大参数量运行的 MLP。
那么，问题来了，KAN 、MLP 到底该选哪一种？有人支持 MLP，因为 KAN 只是一个普通的 MLP，根本替代不了，但也有人则认为 KAN 更胜一筹，而当前对两者的比较也是局限在不同参数或 FLOP 下进行的，实验结果并不公平。
为了探究 KAN 的潜力，有必要在公平的设置下全面比较 KAN 和 MLP 了。
为此，来自新加坡国立大学的研究者在控制了 KAN 和 MLP 的参数或 FLOP 的情况下，在不同领域的任务中对它们进行训练和评估，包括符号公式表示、机器学习、计算机视觉、NLP 和音频处理。在这些公平的设置下，他们发现 KAN 仅在符号公式表示任务中优于 MLP，而 MLP 通常在其他任务中优于 KAN。
- 论文地址：https://arxiv.org/pdf/2407.16674
- 项目链接：https://github.com/yu-rp/KANbeFair
- 论文标题：KAN or MLP: A Fairer Comparison
作者进一步发现，KAN 在符号公式表示方面的优势源于其使用的 B - 样条激活函数。最初，MLP 的整体性能落后于 KAN，但在用 B - 样条代替 MLP 的激活函数后，其性能达到甚至超过了 KAN。但是，B - 样条无法进一步提高 MLP 在其他任务（如计算机视觉）上的性能。
作者还发现，KAN 在连续学习任务中的表现实际上并不比 MLP 好。最初的 KAN 论文使用一系列一维函数比较了 KAN 和 MLP 在连续学习任务中的表现，其中每个后续函数都是前一个函数沿数轴的平移。而本文比较了 KAN 和 MLP 在更标准的类递增持续学习设置中的表现。在固定的训练迭代条件下，他们发现 KAN 的遗忘问题比 MLP 更严重。
KAN、MLP 简单介绍
KAN 有两个分支，第一个分支是 B 样条分支，另一个分支是 shortcut 分支，即非线性激活与线性变换连接在一起。在官方实现中，shortcut 分支是一个 SiLU 函数，后面跟着一个线性变换。令 x 表示一个样本的特征向量。那么，KAN 样条分支的前向方程可以写成：
在原始 KAN 架构中，样条函数被选择为 B 样条函数。每个 B 样条函数的参数与其他网络参数一起学习。
相应的，单层 MLP 的前向方程可以表示为：
该公式与 KAN 中的 B 样条分支公式具有相同的形式，只是在非线性函数中有所不同。因此，抛开原论文对 KAN 结构的解读，KAN 也可以看作是一种全连接层。
因而，KAN 和普通 MLP 的区别主要有两点：
- 激活函数不同。通常 MLP 中的激活函数包括 ReLU、GELU 等，没有可学习的参数，对所有输入元素都是统一的，而在 KAN 中，激活函数是样条函数，有可学习的参数，并且对于每个输入元素都是不一样的。
- 线性和非线性运算的顺序。一般来说，研究者会把 MLP 概念化为先进行线性变换，再进行非线性变换，而 KAN 其实是先进行非线性变换，再进行线性变换。但在某种程度上，将 MLP 中的全连接层描述为先非线性，后线性也是可行的。
通过比较 KAN 和 MLP，该研究认为两者之间的差异主要是激活函数。因而，他们假设激活函数的差异使得 KAN 和 MLP 适用于不同的任务，从而导致两个模型在功能上存在差异。为了验证这一假设，研究者比较了 KAN 和 MLP 在不同任务上的表现，并描述了每个模型适合的任务。为了确保公平比较，该研究首先推导出了计算 KAN 和 MLP 参数数量和 FLOP 的公式。实验过程控制相同数量的参数或 FLOP 来比较 KAN 和 MLP 的性能。
KAN 和 MLP 的参数数量及FLOP
控制参数数量
KAN 中可学习的参数包括 B 样条控制点、shortcut 权重、B 样条权重和偏置项。总的可学习参数数量为：
其中， d_in 和 d_out 表示神经网络层的输入和输出维度，K 表示样条的阶数，它与官方 nn.Module KANLayer 的参数 k 相对应，它是样条函数中多项式基础的阶数。G 表示样条间隔数，它对应于官方 nn.Module KANLayer 的 num 参数。它是填充前 B 样条曲线的间隔数。在填充之前，它等于控制点的数量 - 1。在填充后，应该有 (K +G) 个有效控制点。
相应的，一个 MLP 层的可学习参数是：
KAN 和 MLP 的 FLOP
在作者的评估中，任何算术操作的 FLOP 被考虑为 1，而布尔操作的 FLOP 被考虑为 0。De Boor-Cox 算法中的 0 阶操作可以转换为一系列布尔操作，这些操作不需要进行浮点运算。因此，从理论上讲，其 FLOP 为 0。这与官方 KAN 实现不同，在官方实现中，它将布尔数据转换回浮点数据来进行操作。
在作者的评估中，FLOP 是针对一个样本计算的。官方 KAN 代码中使用 De Boor-Cox 迭代公式实现的 B 样条 FLOP 为：
连同 shortcut 路径的 FLOP 以及合并两个分支的 FLOP，一个 KAN 层的总 FLOP 是：
相应的，一个 MLP 层的 FLOP 为：
具有相同输入维度和输出维度的 KAN 层与 MLP 层之间的 FLOP 差异可以表示为：
如果 MLP 也首先进行非线性操作，那么首项将为零。
实验
作者的目标是，在参数数量或 FLOP 相等的前提下，对比 KAN 和 MLP 的性能差异。该实验涵盖多个领域，包括机器学习、计算机视觉、自然语言处理、音频处理以及符号公式表示。所有实验都采用了 Adam 优化器，这些实验全部在一块 RTX3090 GPU 上进行。
性能比较
机器学习。作者在 8 个机器学习数据集上进行了实验，使用了具有一到两个隐藏层的 KAN 和 MLP，根据各个数据集的特点，他们调整了神经网络的输入和输出维度。
对于 MLP，隐藏层宽度设置为 32、64、128、256、512 或 1024，并采用 GELU 或 ReLU 作为激活函数，同时在 MLP 中使用了归一化层。对于 KAN，隐藏层宽度则为 2、4、8 或 16，B 样条网格数为 3、5、10 或 20，B 样条的度数（degree）为 2、3 或 5。
由于原始 KAN 架构不包括归一化层，为了平衡 MLP 中归一化层可能带来的优势，作者扩大了 KAN 样条函数的取值范围。所有实验都进行了 20 轮训练，实验记录了训练过程中在测试集上取得的最佳准确率，如图 2 和图 3 所示。
在机器学习数据集上，MLP 通常保持优势。在他们对八个数据集的实验中，MLP 在其中的六个上表现优于 KAN。然而，他们也观察到在一个数据集上，MLP 和 KAN 的性能几乎相当，而在另一个数据集上，KAN 表现则优于 MLP。
总体而言，MLP 在机器学习数据集上仍然具有普遍优势。
计算机视觉。作者对 8 个计算机视觉数据集进行了实验。他们使用了具有一到两个隐藏层的 KAN 和 MLP，根据数据集的不同，调整了神经网络的输入和输出维度。
在计算机视觉数据集中，KAN 的样条函数引入的处理偏差并没有起到效果，其性能始终不如具有相同参数数量或 FLOP 的 MLP。
音频和自然语言处理。作者在 2 个音频分类和 2 个文本分类数据集上进行了实验。他们使用了一到两个隐藏层的 KAN 和 MLP，并根据数据集的特性，调整了神经网络的输入和输出维度。
在两个音频数据集上，MLP 的表现优于 KAN。
在文本分类任务中，MLP 在 AG 新闻数据集上保持了优势。然而，在 CoLA 数据集上，MLP 和 KAN 之间的性能没有显著差异。当控制参数数量相同时，KAN 在 CoLA 数据集上似乎有优势。然而，由于 KAN 的样条函数需要较高的 FLOP，这一优势在控制 FLOP 的实验中并未持续显现。当控制 FLOP 时，MLP 似乎更胜一筹。因此，在 CoLA 数据集上，并没有一个明确的答案来说明哪种模型更好。
总体而言，MLP 在音频和文本任务中仍然是更好的选择。
符号公式表示。作者在 8 个符号公式表示任务中比较了 KAN 和 MLP 的差异。他们使用了一到四个隐藏层的 KAN 和 MLP，根据数据集调整了神经网络的输入和输出维度。
在控制参数数量的情况下，KAN 在 8 个数据集中的 7 个上表现优于 MLP。在控制 FLOP 时，由于样条函数引入了额外的计算复杂性，KAN 的性能大致与 MLP 相当，在两个数据集上优于 MLP，在另一个数据集上表现不如 MLP。
总体而言，在符号公式表示任务中，KAN 的表现优于 MLP。
