「千禧年七大数学难题」之一——黎曼猜想（Riemann hypothesis，RH）取得了显著突破，数学家们距离摘取「猜想界的皇冠」又近了一步！
MIT对黎曼猜想的潜在例外情况，提出了更加严格的限制，此举直接打破了80多年的纪录。
论文地址：https://arxiv.org/abs/2405.20552
如今，黎曼猜想依旧是数学中最重要的未解之谜之一。如果能够证明它，数学家将对素数的分布有更深刻的理解，
并且，很多数论和复变函数领域的工作都基于黎曼猜想为真这个前提，因此一旦证明了黎曼猜想，许多其他工作也会得到完整的证明。
解决黎曼猜想的人，将会获得克雷数学研究所提供的100万美元奖励。
目前，对于如何证明黎曼猜想，数学家们还无从下手，不过他们仍然可以通过证明可能的例外数量有限，来获得有用的结果。
在今年5月，Maynard和MIT的Larry Guth确定了一种特定类型例外数量的新上限，打破了此前80多年的纪录。
凭借新的证明，他们得到了数轴上短区间内素数数量的一个更好的近似值，并且有望提供更多关于素数行文的见解。
离完全解决黎曼猜想还远，但仍然是历史性的时刻
罗格斯大学的Henryk Iwaniec对此评论道：「这是一个轰动性的结果，这个过程非常非常难，但他们摘下了宝石。」
陶哲轩对这篇论文大加赞赏：
Guth和Maynard对黎曼假设有了显著的突破，对1940年关于黎曼zeta函数零点的经典Ingham界限进行了第一次实质性改进（更广泛地说，控制各种狄利克雷级数的大值）。
他认为这是历史性的时刻，「在黎曼猜想存在之后的八十年里，对这一约束的唯一推动就是对𝑜(1)误差的微小改进」。
尽管他也承认，「离完全解决这个猜想还很远」。
要知道，早在2008年，美国杨百翰大学的数学家Xian-Jin Li也曾在arxiv上发表过一篇论文，宣称证明了黎曼猜想。后被陶哲轩和法国数学家Alain Connes（均为菲尔兹奖得主）无情地指出了Li证明过程中的错误。
那么，这次Guth和Maynard的研究能得到陶哲轩的转发，可见其意义非凡了。
巧妙的迂回
黎曼猜想涉及数论中的一个核心公式——黎曼ζ函数。ζ函数是简单求和的推广形式：
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ⋯
这个级数随着项数的增加会变得无限大，这个过程被数学家称之为「发散」。但如果改为求和：
1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + 1/5^2 + ⋯ = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ⋯
我们就会得到π^2/6，大约等于1.64。
而黎曼做出了一个出人意料的伟大构想，将这样的级数变成一个如下所示的函数：
所以 ζ(1) 是无穷大，但 ζ(2) = π^2/6。
当我们将s设为一个复数时，事情变得非常有趣。
复数有两个部分：「实部」，即日常生活中的数字，以及「虚部」，即日常数字乘以-1的平方根（数学家将其记作i）。
复数可以在平面上绘制，实部在x轴上，虚部在y轴上。例如，3 + 4i。
ζ函数以复平面上的点作为输入，并输出其他复数。
事实证明，对于某些复数，ζ函数的值为零。确定这些零点在复平面上的具体位置，是数学中最有趣的问题之一。
1859年，黎曼猜测：所有的零点都集中在两条线上。如果我们扩展ζ函数，使其可以处理负数输入，我们就会发现对于所有负偶数：-2, -4, -6等等，ζ函数的值为零。
这相对容易证明，因此这些被称为平凡零点。
当s的实部小于1时，整个级数和可能会发散。为了让函数适用于更广的范围，黎曼把上面的ζ函数改写成以上形式
Riemann猜测该函数的所有其他零点（也即非平凡零点）的实部都为1/2，因此位于这条垂直线上。
这是黎曼猜想，证明它一直极其困难。
数学家们知道，每个非平凡零点的实部必须在零和1之间，但他们无法排除有些零点的实部可能是0.499。
他们能做的是，就是证明这样的零点必须非常罕见。
更直观地说，根据ζ函数能够画出无穷多个点。黎曼猜测，这些点有一定的排列规律，一部分在一条横线上，另一部分则在一条竖线上，所有这些点都在这两条直线上排列，无一例外
在上图中，由于有无穷多个点，所以不能用枚举法证明所有的点都在这两条线上，因为永远也验证不完。但只要有一个点不在这两条直线上，那就能推翻黎曼猜想。
数学家们已经使用计算机验证了最初的1亿亿个点，全都符合黎曼猜想的排列规律。
许多年来，许多数学家为了证明这个猜想前赴后继，但无一人能够捧回这个「数学界的圣杯」，甚至不乏有数学家为此而抱憾离世，将无尽的思考留给了后人。
美国数学家Hugh Montgomery甚至表示，如果有魔鬼答应让数学家们用自己的灵魂来换取一个数学命题的证明，大多数学家想要换取的将会是黎曼猜想的证明。
80多年的纪录，忽然被打破了
1940年，一位名叫Albert Ingham的英国数学家建立了一个上限，用于估计实部不等于1/2的零点数量，这个上限，至今仍被数学家们用作参考点。
几十年后，在1960年代和70年代，其他数学家找到了将Ingham的结果转换为关于素数在数轴上如何聚集或分散，以及它们可能形成的其他模式的描述方法。
大约在同一时间，数学家们还引入了新的技术，改进了Ingham对实部大于3/4的零点的上限。
但事实证明，最重要的零点，就是那些实部正好为3/4的零点。
「许多关于素数的重要结果，都受限于我们对实部为3/4的零点的理解，」Maynard说。
James Maynard是数学领域的杰出学者，曾于2022年获得菲尔兹奖。
他本科毕业于剑桥大学，博士毕业于牛津大学，从2018年起任教于牛津大学数学研究所。
大约十年前，Maynard就开始思考，如何改进Ingham对这些特定零点的估计。「这是我在解析数论中最喜欢的问题之一。总觉得只要再努力一点，就能取得进展。」
但年复一年，每当他想要解决这个问题，总会被卡住。
然后，在2020年初，在飞往科罗拉多参加会议的飞机上，他突然有了一个想法——或许调和分析中的工具可能会有用。
巧的是，MIT的一位调和分析专家Larry Guth，恰好也参加了同一个会议。
碰巧在思考类似问题的两个人，就这样相遇了。
不过，Guth对解析数论完全不熟悉。在午餐时间，Maynard向他解释了数论方面的内容，还给了他一个具体的测试案例。
断断续续研究了几年后，Guth才意识到，他的调和分析技术行不通。
但他并没有停止思考这个问题，而是尝试了新的方法。
今年二月份，他再次联系了Maynard。结合不同的视角，两人开始认真合作。
几个月后，他们得出了结果。
数学中的「弃子」
Guth和Maynard首先将他们想要解决的问题转换成另一种形式。
如果某个零点的实部不是1/2，那么被称为狄利克雷多项式的相关函数，必须产生一个非常大的值。
因此，证明黎曼猜想的例外很少等同于证明狄利克雷多项式不会经常产生很大的值。
然后，数学家们进行了另一种转换。
首先，他们使用狄利克雷多项式构建了一个矩阵，或者说一个数字表。
「数学家们喜欢看到矩阵，因为矩阵是我们非常了解的东西，」Guth说。「你要学会保持敏锐的嗅觉，准备好看到矩阵无处不在。」
矩阵可以「作用于」一个叫做向量的数学对象，向量由长度和方向定义，从而产生另一个向量。
通常情况下，当矩阵作用于向量时，会改变向量的长度和方向。
有时会有一些特殊的向量，当它们经过矩阵时，只改变长度而不改变方向。这些向量称为特征向量。
数学家们用称为特征值的数字，来衡量这些变化的大小。
Guth和Maynard重新表述了他们的问题，使其变成了关于矩阵最大特征值的问题。
如果他们能证明最大特征值不能变得太大，他们的工作就完成了。
为此，他们使用了一个公式，得到了一个复杂的总和，并寻找方法使总和中的正负值尽可能地相互抵消。
「你必须重新排列序列，或者从正确的角度看它，以看到某种对称性，从而实现一些抵消，」Guth说。
这个过程涉及几个令人惊讶的步骤，其中一个最重要的想法，被Maynard形容为「有点神奇」。
在某个时刻，他们本应采取一个看似显而易见的简化步骤，来简化他们的总和。
然而他们并没有这样做。反之，他们把总和保留在更长、更复杂的形式。
「我们做了一些乍一看完全愚蠢的事情，我们就是拒绝做标准的简化，」Maynard说。「我们放弃了很多，这意味着现在我们不能为这个总和得到任何简单的界限。」
但从长远来看，这证明是一个有利的举动。
「在国际象棋中，这被称之为弃子——为了在棋盘上获得更好的位置而去牺牲一枚棋子，」Maynard说。
而Guth将其比作玩魔方：有时你必须撤销之前的动作，使一切看起来更糟，然后找到一种方法，让更多的颜色到达正确的位置。
「我们需要极大的勇气，才能抛弃一个显而易见的改进，然后希望自己能在之后恢复它，」牛津大学的数学家、Maynard的前导师Roger Heath-Brown说。「这与我认为应该做的一切背道而驰。」
但这位导师承认，这恰恰是自己卡住的地方。
Maynard说，Guth作为一个调和分析专家而不是数论学家，使得这一策略成为可能。「他没有被这些固有的规则所禁锢，所以他更愿意考虑那些不合常规的事情。」
最终，他们能够对最大特征值设定一个足够好的界限，这又进一步转化为对黎曼猜想潜在反例数量的更精确界限。
尽管他们的工作始于启发了Guth的调和分析思想，但他们最终却将这些复杂技术排除在外，返璞归真。
「现在看起来，这就像是我40年前可能会尝试的事情，」Heath-Brown说。
最终，通过给出对实部为3/4的零点数量的更好界限，Guth和Maynard自动证明了一些关于素数分布的结果。
例如，对于较短区间，估计在给定区间内找到的素数数量会变得不那么准确。而新的工作，能使数学家们在更短的区间内得到良好的估计。
数学家们认为，这个证明还可能改进其他关于素数的结论。
并且，Guth和Maynard的技术似乎还有余地进一步改进。
不过Maynard认为，这些技术不是解决黎曼猜想本身的正确方法。
「它还需要来自其他地方的一些重大想法。」
陶哲轩解读：利用解析数论意想不到的方式
对于这个「弃子」的方法，陶哲轩也给出了更专业的解读——
如果令𝑁(σ,𝑇)表示实部至少为σ、虚部至多为𝑇的黎曼zeta函数的零点数量，黎曼猜想告诉我们，对于任何σ>1/2，𝑁(σ,𝑇)都会消失，当然我们不能无条件地证明这一点。
但下一步，我们可以证明零密度估计，也就是𝑁(σ,𝑇)的非平凡上界。
事实证明，σ=3/4 是一个关键值。1940年，Ingham得出了一个结果——𝑁(3/4,𝑇)≪𝑇^{3/5+𝑜(1)}。
在接下来的八十年里，对该界限的唯一改进是对𝑜(1)误差的小幅改进。
这限制了我们在解析数论中做很多事情：例如，为了在(𝑥,𝑥+𝑥^𝜃)形式的几乎所有短区间内得到一个好的素数定理，我们长期以来一直被限制在𝜃>1/6 ，主要障碍是Ingham界限缺乏改进。
Guth和Maynard的最新研究成功改进了Ingham界限，从3/5=0.6降低到13/25=0.52。
这带来了解析数论的许多相应改进；例如，在几乎所有短区间内，可以证明的素数定理的范围从𝜃>1/6=0.166… 变为𝜃>2/15=0.133…（如果黎曼猜想为真，将意味着我们可以覆盖整个𝜃>0的范围）。
这些论证本质上主要基于傅立叶分析。前几步是标准步骤，许多试图打破Ingham界限的分析数论学家都能认出这些步骤。
但他们有许多巧妙且出乎意料的操作，比如，通过将关键的相位矩阵𝑛^{𝑖𝑡}=𝑒^{𝑖𝑡log𝑛}提升到六次方来控制它（表面上看，这使问题变得更加复杂且棘手）。
以及，拒绝使用驻相法来简化某个复杂的傅里叶积分，从而在指数上让步，以保留一种最终证明比驻相近似更有用的因式分解形式；并根据Dirichlet级数大值出现的位置是否具有小、中或大的加法能量来划分情况，并对每种情况采用稍微不同的论证方法。
在这里，隐含在Dirichlet级数中的相位函数𝑡log𝑛的精确形式变得非常重要；这是利用解析数论中出现的特殊指数和的一种意想不到的方式，而不是在调和分析中可能遇到的更一般的指数和。
