费马大定理，即将被AI攻克？
而且整件事最意味深长的地方在于，AI即将解决的费马大定理，正是为了证明AI无用。
曾经，数学属于纯粹的人类智力王国；如今，这片疆土正被先进的算法所破译，所践踏。
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费马大定理，是一个「臭名昭著」的谜题，在几个世纪以来，一直困扰着数学家们。
它在1993年被证明，而现在，数学家们有一个伟大计划：用计算机把证明过程重现。
他们希望在这个版本的证明中，如果有任何逻辑上的错误，都可由计算机检查出来。
项目地址：https://github.com/riccardobrasca/flt3
3月底，数学家Pietro Monticone激动地表示，自己和同事几乎在leanprover中完成了指数3的费马大定理的形式化。
他们会尽快把形式化过程移植到Mathlib中，以便在FLT项目中使用。
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证明过程大致遵循Wiles的证明，但会略有改动。
用Lean把费马大定理变成代码
当四月到来时，数学家兼程序员Kevin Buzzard将发布这个计划：通过计算机代码，完成费马大定理的证明。
项目在4月上线后，公开的蓝图就会出现在网上，届时，Lean社区的任何人，都可以为形式化证明做出自己的贡献。
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把一个开创性的100页数学证明，变成计算机代码，这个过程容易实现吗？
这当然就要归功于被陶哲轩大加赞赏、沉迷使用的证明工具Lean，它可以让用户把散文式的证明转化为用于测试的规则和逻辑。
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但无论如何，这项工程都不简单，预计将历时多年，而Kevin Buzzard页获得了项目的资金支持。
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大家都明白，这个项目，很可能是迄今为止最复杂的计算机化方式证明之一。
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费马大定理
费马大定理，堪称是史上最精彩的一个数学谜题。
而证明费马大定理的过程，直接就是一部数学史。
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我们耳熟能详的费马大定理，由17世纪的法国数学家皮埃尔·德·费马提出。遗憾的是，他未能在有生之年找到证明。
于是，这项起源于三百多年前的难题，直接挑战了人类整整3个世纪，多次震惊全世界，耗尽人类众多最杰出大脑的精力，也让千千万万业余者痴迷。
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这个定理声称，不存在三个正整数a、b、c能满足方程 (a^n + b^n = c^n)，其中n是任何大于2的整数。
这个证明的难点就在于，数学家很难找出一个否定案例：我们怎么能保证一定不存在这样一个无穷大的整数n，能满足这个方程式呢？
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幸好，对于今天的数学家来说，将无穷大的概念转换成逻辑，并不是什么新鲜事了。
在较为简单的证明中，我们可以依靠归纳法——
一旦某个逻辑对某个数字成立（比如8），那么它对于之后的每一个数（比如9、10、11等）都同样成立，直到无限大。
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然而，费马大定理却是数学界百年来的一块绊脚石。
直到1993年，英国数学家Andrew Wiles用一份长达100页的书面证明，解开了这一谜团。
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计算机为什么无法证明费马大定理？
业界认为原因有三：
1. 计算机无法推导出无穷种
2. 计算机无法证明逻辑正确
3. 计算机可能会出现转瞬即逝的失误
幸好有Lean辅助证明
一份100页的数学证明，无论是对于普通的数学系学生，还是数学家，都不是那么好驾驭的。
好在，我们可以不再依赖传统的证明方法，可以求助于Lean这样的工具。
它是一款基于C++开发的编程工具，专为编写和验证归纳法证明而设计。
如今许多所谓的「人工智能」，不过是巧妙地排列模仿人类语言的文字。但Lean这类计算机辅助的证明，更深入地融合了人类的思维方式，和计算机辅助加强的能力。
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Lean编程工具，进入本科课堂
在伦敦帝国理工学院教数学的Kevin Buzzard，花费了数年时间，利用Lean为学院的整个本科数学课程开发了支持工具。
通过这些工具，学生们可以将课堂上讨论的内容分解成逻辑和数学运算的步骤。
这就仿佛是一个数学证明上的罗塞塔石碑。
同为数学教师的Clarissa Littler，就非常赞同Kevin Buzzard的理念。
她在波特兰社区学院教授离散数学。过去两个学期里，她都在离散数学课上用Kevin Buzzard开发的「Lean经典入门游戏」。
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地址：https://adam.math.hhu.de/
她会用「自然数博弈」，帮学生熟悉数学归纳法的思想，通过「集合论博弈」，让他们习惯于对集合进行推理。
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在这个过程中，学生们对「严格遵循逻辑规则编写证明」，和「用通俗语言解释事物真理」之间的理解差距，就会逐渐弥合。
Littler强调，课程的一大重点，就是让数学基础不太牢固的学生，更自如地用数学家的方式思考，同时更好地理解证明、证据和展示真理的方法。
这种从形式逻辑到规则列表，再到用散文表达的转变，是将项目分解成互相协作的代码片段的关键所在。
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而这一点，在编程和纯数学的交叉领域尤为重要，也正是Lean这样的工具能大放异彩的地方。
Buzzard表示，他希望将费马大定理引发的复杂数学思想转化为可编程的形式。
几个世纪以来，为了证明这个在Buzzard看来「毫无实际意义」的定理，人们开创了许多极具价值的新数学分支。
是的，在Buzzard看来，费马大定理毫无意义，在现实世界中没有任何应用，不过因为这个「臭名昭著」的问题，几个实际来人们产生了大量绝妙的新想法。
如今，将Wiles的100页长的证明转化为计算机能够理解的形式语言和规则，有望为新一代数学家开启计算机辅助证明的大门。
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而这种转换工具，也能够为编程人员提供帮助。
Littler表示，在这一领域，雄心勃勃的项目总是值得尝试的，因为我们都能从学到的经验和编写的程序库中获益。
交互式的定理证明虽然还是一个较新的领域，但Lean社区已经做了许多优秀的工作。
Kevin Buzzard：Lean的布道者
1968年出生的Kevin Mark Buzzard，在算术几何和Langlands程序方面有着深厚的专业造诣。
他目前是伦敦帝国学院的纯数学教授，也是AI工具Lean的「布道者」。
在皇家文法学校读书期间，Kevin Buzzard曾参加了国际数学奥林匹克竞赛，并在1986年赢得铜牌，1987年以满分拿下金牌。
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此后，他在剑桥大学的三一学院完成了数学本科学习，并于1990年获得Senior Wrangler头衔，于1991年获得C.A.S.M.学位。
在Richard Taylor的指导下，他的博士论文「The levels of modular representations」于1995年完成，探讨了数学中的一个复杂领域。
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1998年，他开始在伦敦帝国学院担任讲师，2002年晋升为高级讲师，2004年被任命为教授。
他还曾在哈佛大学（2002年10月至12月）和其他几所著名机构进行访问研究。
因其在数论领域的突出贡献，他在2002年获得了怀特黑德奖，2008年获得了Senior Berwick奖。
2017年，Buzzard发起了一个关于Lean定理证明器的项目和博客，致力于推动在数学研究中使用计算机辅助证明工具。
他还指导了音乐家Dan Snaith（艺名Caribou）完成了关于超收敛Siegel模符号研究的数学博士论文，Snaith因此从伦敦帝国学院获得了博士学位。
2023年10月，Kevin Buzzard在社交媒体上称，自己获得了研究经费，开始用Lean去证明费马大定理。
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Buzzard表示，「十年前，这需要花费无限多的时间」。为了完成这个项目，他将把自己的教学任务搁置五年。
搁置自己的任务，值得吗？
在他的同行、英国诺丁汉大学Chris Williams看来，这种项目可能会产生意想不到的好处，和深远的影响。
「我认为他不太可能在未来五年内正式形式化整个证明，否则就太惊人了。但是，现在的数论和算术几何中，许多工具都无处不在，因此我预计，未来任何实质性的进展都将非常有用。」
对数学研究意义重大
这个项目还揭示了一个更深层次的价值。
随着计算工具的不断进步，数学的不同分支之间，甚至不同学科之间的界限，正变得越来越模糊，这就导致一些几乎无法验证的证明出现了。
比如，京都大学的日本数学家Mochizuki Shinichi编写了一份长达500页的证明，因为太过复杂，花费了数年时间才发表出来，部分原因就是，人们不知道该如何处理它。
从此，我们可能会发现，数学的边界变得越来越模糊。
这不是指真实性或逻辑上的模糊，而是指一个证明中可以融合的不同思想的范围。
Lean可以让数学家们的思想转化为代码，这就让同行更易于理解。看着前人记录的先例，未来的数学家们可以在此基础上继续推进自己的研究。
Buzzard表示，用Lean进行数学写作的特点就是，你可以留下精确陈述但未经证明的结果，而其他人就可以在之后解决它们。
Lean本身就促成了这样一种工作流。
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换言之，费马大定理正准备以「众包」的方式来解决——特别是如果编码工作超出了Buzzard剩余的工作年限。
完成一个数学证明需要整个社区的努力。
也许，在将来，我们能拥有一个类似Genius.com的平台，用于分享和解读数学证明。
参考资料：
