过去十年来，深度学习领域发展迅速，其一大主要推动力便是并行化。通过 GPU 和 TPU 等专用硬件加速器，深度学习中广泛使用的矩阵乘法可以得到快速评估，从而可以快速执行试错型的深度学习研究。
尽管并行化已经在深度学习研究中得到了广泛的使用，但循环神经网络（RNN）和神经常微分方程（NeuralODE）等序列模型却尚未能完全受益于此，因为它们本身需要对序列长度执行序列式的评估。
序列评估已经变成了训练序列式深度学习模型的瓶颈。这一瓶颈可能会使人们关注的研究方向偏离序列模型。
举个例子，注意力机制和 transformer 在近些年中超过 RNN 成为了语言建模的主导技术，部分原因就是它们能以并行的方式训练。连续归一化流（CNF）过去常使用的模型是 NeuralODE，现在却转向了训练过程不涉及到模拟 ODE 的新方向。
近期有一些尝试复兴序列 RNN 的研究工作，但它们的重心都是线性循环层 —— 可使用前缀扫描（prefix scan）来进行并行化地评估，非线性循环层在其序列长度上依然无法并行化。
近日，英国 Machine Discovery 公司和牛津大学的一篇论文提出了一种新算法，可将 RNN 和 NeuralODE 等非线性序列模型的评估和训练工作并行化，并且他们宣称这一算法还不会在「合理的数值精度」内改变模型的输出。
论文地址：https://arxiv.org/pdf/2309.12252.pdf
那么他们是怎么做到这一点的呢？
据介绍，他们引入了一种用于求解非线性微分方程的通用框架，其做法是将这些方程重新表述为二次收敛的定点迭代问题，这相当于牛顿求根法。定点迭代涉及到可并行运算和一个可并行地评估的逆线性算子，即使是对于 RNN 和 ODE 这样的序列模型也可以。
由于是二次收敛，所以定点迭代的数量可以相当小，尤其是当初始起点接近收敛的解时。在训练序列模型方面，这是一个相当吸引人的功能。由于模型参数通常是渐进式更新的，所以之前训练步骤的结果可以被用作初始起点。
最重要的是，研究者表示，新提出的算法无需序列模型具备某种特定结构，这样一来，用户不必改变模型的架构也能收获并行化的好处。
DEER 框架：将非线性微分方程视为定点迭代
DEER 框架具有二次收敛性，并且与牛顿法存在关联。这一框架可以应用于一维微分方程（即 ODE），也可用于更高维的微分方程（即偏微分方程 / PDE）。该框架还可以应用于离散差分方程以达到相同的收敛速度，这一特性可以应用于 RNN。
使用该框架，用户可以设计一种用于评估 RNN 和 ODE 的并行算法，并且不会对结果产生明显的影响。
DEER 框架
令我们感兴趣的输出信号为 y (r)，其由 n 个在 d 维空间的信号构成，其坐标表示为 r。输出信号 y (r) 可能依赖于输入信号 x (r)，其关系是某个非线性的延迟微分方程（DE）：
其中 L [・] 是 DE 的线性算子，f 是非线性函数，其依赖于 P 个不同位置的 y 值、外部输入 x 和参数 θ 的。这是一个通用形式，足以表示各种连续微分方程，比如 ODE（当 L [・] = d/dt 且 r = t）、偏微分方程（PDE）、甚至用于 RNN 的离散差分方程。
现在，在左侧和右侧添加一项
，其中 Gp (r) 是一个依赖于位置 r 的 n×n 矩阵。G_p 的值会在后面决定。现在 1 式就变成了：
2 式的左侧是一个关于 y 的线性方程，在大多数情况下，其求解难度都低于求解非线性方程。在 3 式中，研究者引入了一个新符号
，用以表示在给定边界条件下求解 2 式左侧的线性算子的线性算子。
3 式可被看作是一个定点迭代问题，即给定一个初始猜测
，可以迭代地计算等式右侧，直到其收敛。为了分析这种接近真实解的收敛性，这里将第 i 轮迭代时的 y 值记为
，其中
是满足 3 式的真实解。将 y^(i) 代入 3 式可以得到 y^(i+1)，然后泰勒展开至一阶，得：
其中 J_pf 是 f 在其第 p 个参数上的雅可比矩阵。根据上式，通过选择
可让 δy^(i+1) 的一阶项为 0。
这表明，根据上式选择矩阵 G_p，能以最快的速度收敛到解附近。这还表明，3 式和 5 式中的迭代相当于在巴拿赫空间（Banach space）中实现牛顿法，因此能提供二次收敛性。
3 式中的迭代过程涉及到评估函数 f、其雅可比矩阵和矩阵乘法，这些运算可以使用现代加速器（如 GPU 和 TPU）来并行化处理。如果能以并行方式求解线性方程，那么整个迭代过程都可利用并行计算。在深度学习背景中，将非线性微分方程视为定点迭代问题来求解还有另一个优势，即可以将前一步骤的解（如果能放入内存）用作下一训练步骤的起始猜测。如果起始猜测更好，则能减少寻找非线性微分方程的解所需的迭代步骤。
实际实现
为了将 3 式的 DEER 框架用于具体问题，需要遵循一些步骤。
第一步是将问题改写成 1 式，定义变量 y、线性算子 L [・] 和非线性函数 f (・)。
第二步是实现研究者所说的位移器函数（shifter function）。这个位移器函数是以 y (r) 的整体离散值为输入，返回经过位移的 y 值的列表，即 y (r − s_p)，其中 p = {1, ..., P}。这个位移器函数可能需要一些附加信息，比如起始或边界条件。这个位移器函数的输出将会是非线性函数的输入。
下一步（通常也是最难的一步）是根据矩阵列表 G_p 和在某些点离散的向量值 h 实现逆算子
。这个逆算子可能也需要有关边界条件的信息。
只要能提供算法 1 中的需求，就可以将 DEER 框架应用于任意微分或差分方程。
并行化常微分方程（ODE）
ODE 的形式通常是 dy/dt = f (y (t), x (t), θ)，其中初始条件 y (0) 是已给定的。上面的 ODE 形式如果用 1 式表示，则有 r = t、L = d/dt、P = 1 和 s_1 = 0。这意味着 ODE 中的算子
相当于在给定初始条件 y (0) 时求解下面的线性方程。
假设 G (t) 和 z (t) 是 t = t_i 和 t = t_{i+1} 之间的常量，分别为 G_i 和 z_i，则可以将 y_{i+1}=y_(t_i+1) 和 y_i = y (t_i) 之间的关系写成：
其中 ∆_i = t_{i+1} − t_i，I 是单位矩阵，exp (・) 是矩阵指数。9 式可以使用并行前缀扫猫算法进行评估。具体来说，首先可以为每个离散时间点 t_i 定义一对变量
，初始值 c_0=(I|y_0) 以及一个关联算子
给定上面的初始值 c_0 和关联算子，可以并行方式运行关联扫描以获取上述算子的累积值。解 y_i 可从这个并行扫描算子的结果的第二个元素获取。
并行化 RNN
循环神经网络（RNN）可以看作是一种离散版的 ODE。令索引 x 处的输入信号为 x_i，前一状态为 y_{i-1}，则当前状态可以写成 y_i = f (y_{i-1}, x_i , θ)。
这个形式可以捕获常见的 RNN 单元，比如 LSTM 和 GRU。而如果用 1 式来写这个形式，则有 r = i、L [y] = y、P = 1 和 s_1 = 1。这意味着给定起始状态 y_0，可以通过求解下式来计算逆线性算子：
求解上式就相当于求解前一小节的 9 式。这意味着也可以使用并行前缀扫描和 11 式中定义的关联算子来将其并行化。
实验
图 2 给出了新提出的方法在 V100 GPU 上所实现的速度提升。
这张图表明，当维度小、序列长度长时，取得的速度提升最大。但是，随着维度增多，速度提升会下降。对前向 + 梯度计算的提速甚至超过仅前向计算的提速。
图 3 比较了使用序列方法和 DEER 方法评估的 GRU 的输出。
从图 3 可以看出，使用 DEER 方法评估的 GRU 的输出几乎与使用序列方法获得的输出一样。图 3 (b) 中的小误差源于单精度浮点的数值精度限制。
图 4 (a, b). 给出了使用 DEER 方法和 RK45 方法时训练期间的损失变化情况。从图中可以看到，相比于使用普通的 ODE 求解器，当使用新提出的 DEER 方法时，训练速度可以提升 11 倍，并且这两种方法的验证损失差别不大。
图 4 (c, d) 比较了使用 DEER 方法和常用的序列方法时，GRU 网络训练期间的验证准确度。从图中可以看到，使用 DEER 方法时的验证准确度图表与使用序列方法时的很相近。
