几何学中，最难攻克的问题往往是一些最古老、最简单的问题。
自古以来，艺术家和几何学家们就想知道几何形状如何在没有间隙或重叠的情况下铺满整个平面。然而用罗切斯特大学数学家 Alex Isoevich 的话来说——这个问题「直到最近才有所进展。」
数学家想知道什么时候可以形成非周期性的平铺模式——像彭罗斯平铺这样的模式，永远不会重复。
最明显的瓷砖重复模式是：用正方形、三角形或六边形覆盖地板很容易。不过在 1960 年代，数学家发现了一组奇怪的瓷砖，它们可以完全覆盖平面，但只能以永不重复的方式覆盖。
这就让人不由地想要看看这种结构能有多疯狂了。事实证明，确实疯狂。
第一个这样的非重复或非周期性图案包含一组 20426 个不同的瓷砖。数学家想知道他们是否可以降低这个数字。到 20 世纪 70 年代中期，英国科学家罗杰 · 彭罗斯（他后来因使用数学方法证明黑洞是爱因斯坦广义相对论的直接结果而获得 2020 年诺贝尔物理学奖）证明了一组简单的只有两块瓷砖（被称为「风筝」和「飞镖」）的配置就足够了。
想铺出不重复的形式并不难，你可以调整许多重复或周期性的平铺以形成非重复的平铺。比如考虑一个无限的正方形网格，像棋盘一样对齐。
如果移动每一行，使其与其上方的行偏移不同的量，你将永远无法找到可以像图章一样剪切和粘贴以重新创建完整平铺的区域。真正的诀窍是像彭罗斯那样，找到可以覆盖整个平面的瓷砖组，但只能以不重复的方式覆盖。
这就提出了一个问题：「可能有一块形状巧妙的瓷砖符合要求吗？」
令人惊讶的是，答案是肯定的——如果允许移动、旋转和镜像瓷砖，就能找到一块符合要求的瓷砖。如果瓷并没有连接上，那么其中的间隙可以由其他适当旋转、适当反射的瓷砖副本填充，最终覆盖整个二维平面。
但是如果不允许旋转这块瓷砖，就不可能不留空隙地平铺平面。
事实上，几年前数学家 Siddhartha Bhattacharya 证明了——无论多么复杂或细化的瓷砖设计——如果只能使用单个瓷砖的移位或平移，那么就不可能设计出非周期性地覆盖整个平面的瓷砖。
数学家 Bhattacharya 的二维猜想也适用于高维空间。这个假设被称为周期性平铺猜想，类似于不存在非周期性二维瓷砖一样，数学家们也假设不存在合适的三维块或更大维度的情况。
上个月，Greenfeld 和加州大学洛杉矶分校华人数学家陶哲轩（Terence Tao）最终解决了这个猜想——但不是以数学家预期的方式。他们构建了一个可以非周期性填充高维空间但不能周期性填充的「瓷砖」，从而推翻了这个猜想。
论文链接：https://arxiv.org/abs/2211.15847
克里特大学的数学家 Mihalis Kolountzakis 说：「我希望这个猜想在所有维度上都是正确的，但我想在足够高的维度上，情况可能会不一样。”
实际上，这个瓷砖问题不仅是个几何问题，它还与几何以外——逻辑本身极限的问题有关。
加州大学洛杉矶分校数学家 Rachel Greenfeld
合作研究
2019 年，Greenfeld 以博士后研究员的身份来到加州大学洛杉矶分校，她和陶哲轩两人都独立研究了与平移拼接相关的问题。两位研究者也将目光投向了证明周期性平铺猜想。
这个猜想在一维和二维中的结果已广为人知，陶哲轩和 Greenfeld 试图在三维的情况上证明它：证明如果你可以移动一个三维形状来平铺整个三维空间，那么一定有一种方法可以周期性平铺空间。
他们取得了一些进展——使用不同的方法在二维中重新证明了这个猜想——他们希望新方法可以适用于三维情况。然而，他们碰壁了。
陶哲轩说：「也许我们无法在更高维度上证明这个猜想是有原因的。我们应该开始寻找反例。」他们梳理了其他非周期性结构的文献，然后着手寻找非周期性的反例。
他们从改变环境开始。假设平铺一个二维空间，不要试图平铺一个连续的平面，考虑一个二维格子，一个排列在网格中的无限点阵列。你现在可以将图块定义为网格上的一组有限点，如果你有一个合适的平铺，那么你可以通过复制有限的点集并将它们四处滑动来恰好覆盖格子中的每个点一次。
证明高维格子的「离散」周期性拼接猜想与证明该猜想的连续版本略有不同，因为拼接在格子中是可能的，但在连续空间中是不可能的。但它们是相关的。Greenfeld 和陶哲轩想要提出一个离散的反例来证明他们随后可以修改以在连续情况下也适用的猜想。
2021 年，他们在论文《Undecidable translational tilings with only two tiles, or one nonabelian tile》中接近了目标，在一个非常高维的空间中找到了两块瓷砖，其可以填充它们所在的空间，但只是无周期的。Greenfeld 说道。「非常接近了，但还不够，但两块瓷砖比一块更不牢固。」
又过了一年半时间，两人为周期性平铺猜想找到了一个真正的反例。
「瓷砖三明治」
他们从构建一种新语言开始，首先将问题重写为一种特殊的方程式。这个方程式中的未知「变量」，即需要解决的问题代表了平铺高维空间的所有可能方式。「但你很难用一个方程式来描述事物，」陶哲轩说。「有时你需要多个方程来描述一个非常复杂的空间集合。」
因此，Greenfeld 和陶哲轩重新构建了他们想要解决的问题。他们意识到可以转而设计一个方程组，其中每个方程都会对其解编码不同的约束。这让他们可以将问题分解为一个关于许多不同瓷砖的问题——在其中，所有瓷砖都使用同一组翻转覆盖给定空间。
例如，在二维空间中你可以通过向上、向下、向左或向右滑动一个正方形来平铺平面，一次一个单位。其他形状也可以使用完全相同的一组偏移来平铺平面：例如，一个正方形的右边缘添加了一个凸起，左边缘被移除，就像拼图游戏一样。
如果你把一个正方形、一块拼图和其他使用同一组移位的瓷砖，像三明治中的冷盘一样把它们堆在一起，你就可以构建一个使用单一移位的瓷砖来覆盖 3D 空间。Greenfeld 和陶哲轩需要的是在更多的维度上做这件事。
陶哲轩表示：「由于我们始终是在高维度上研究，多加一个维度并没有真正妨碍到我们。」相反，这提供了额外的灵活性，以求得一个好的解决方案。
数学家们试图扭转这种夹层构建程序，将他们的单方程、高维平铺问题改写为一系列低维平铺方程。这些方程后来决定了高维平铺的构造是什么样的。
陶哲轩说：「哪怕你只有两块瓷砖，它们也可以互相交谈，做些复杂的事情。」
Greenfeld 和陶哲轩认为他们的平铺方程系统是一个计算机程序。每一行代码或方程都是一个命令，而命令的组合可以生成一个程序，实现一个特定的目标。「逻辑电路是由非常基本的对象构成的，AND 门和 OR 门等等，」陶哲轩说。「每一个都不是很有趣，但是你把它们堆在一起，就可以做出一个可以画正弦波或在互联网上通信的电路。」
「所以我们开始把我们的问题看作是一种编程问题，」他继续说。他们的每一个命令都是一个不同的属性，而最终瓷砖需要满足这些属性，所以作为一个整体的程序将保证任何符合所有标准的平铺必须是非周期的。
那么问题来了，在所有这些平铺方程中编码什么样的属性，才能实现这一目标？例如，夹层中的一个瓷砖的形状可能只允许某些类型的移动。数学家们必须小心翼翼地建立起约束清单，以避免限制到排除任何解决方案，但要足以限制到排除所有周期性解决方案。
Greenfeld 说：「这里的博弈是构建正确的约束水平，对正确的难题进行编码。」
无限数独
Greenfeld 和陶哲轩希望用他们平铺方程编制的谜题是一个无限多行和大量而有限数量的列组成的网格。数学家们试图用特定的数字序列填满每一行和对角线，这些数字序列与他们可以用平铺方程描述的约束类型相对应：他们将其比作一个巨大的数独谜题。
然后，二人找到了非周期性的序列，意味着相关的平铺方程系统的解决方案也是非周期性的。「这个谜题基本上只有一个解决方案，它是个有趣的东西，几乎是但不完全是周期性的，」陶哲轩说。「我们花了很多时间才找到。」
「研究几乎是周期性但不完全是周期性的函数，是数学中一直存在的东西，」不列颠哥伦比亚大学的数学家 Izabella Łaba 说。「但这次是一种非常不同的使用该类型结构的方式。」
正如 Iosevich 所说，Greenfeld 和陶哲轩创造了一个完全初级的对象，并将事情推到一个「看起来更复杂的情况」。
陶哲轩正在用儿童玩具探索瓷砖的配置，拍摄：Rachel Greenfeld。
在过程中，他们构建了一个高维的非周期平铺，首先是在离散环境中，然后是在连续环境中。这种平铺是如此复杂，充满曲折和漏洞以至于几乎无法覆盖空间。「这是一个讨厌的平铺，」陶哲轩表示。「我们没有试图让它变得漂亮。」
他和 Greenfeld 没有计算它所处空间的维度，只知道它是巨大的，可能有 2 ^( 100^100) 那么大。「我们的证明是建设性的，所以一切都很明确，而且可以计算，」Greenfeld 说。「但因为它离最佳状态非常非常远，我们没有检查它。」
事实上，数学家们认为他们可以在更低的维度上找到非周期性平铺。这是因为他们的构造中，一些技术性更强的部分涉及到在特殊空间中工作，这些空间在概念上「非常接近于 2D」。Greenfeld 不认为他们会找到一个 3D 的瓷砖，但她说一个 4D 的瓷砖是可行的。
因此，Iosevich 说，他们不仅仅是推翻了周期性平铺的猜想。「他们以最颠覆的方式做到了这一点。」
不完备性的探索
这项工作标志着一种构建非周期性平铺的新方法，Greenfeld 和陶哲轩认为这种方法可用于推翻其他与平铺有关的猜想。反过来，这可能使数学家们进一步推动复杂性产生的边界。
「似乎确实有一种新的原则，即高维几何学就是讨厌的，」陶哲轩表示。「但我们从 2D 和 3D 得到的直觉可能会产生误导。」
这项工作不仅涉及人类直觉的边界问题，还涉及数学推理的边界问题。在 20 世纪 30 年代，数学家库尔特 · 哥德尔（Kurt Gödel）表明，任何足以发展基本算术的逻辑系统都是不完整的，即「哥德尔不完备定理」。在这个系统中，有些语句既不能被证明也不能被反驳。事实证明，数学中充满了「不可判定」的语句。
同样，这项工作也充满了计算上不可判定的问题，任何算法都无法在有限的时间内解决的问题。数学家们在 20 世纪 60 年代发现，关于倾角的问题也可以是不可判定的。也就是说，对于某些形状的集合，可以证明的是，在有限的时间内不可能弄清楚它们是否在给定的空间内铺设瓷砖。(原则上，这样做的唯一方法是考虑所有可能的方式，将瓷砖铺在一起，直到时间终止）。
「这是一个非常简单的问题，但还是超出了数学的范围，」耶鲁大学的数学家 Richard Kenyon 说。「这不是这种情况的第一个例子，即某种数学理论是不可判定的或不完整的，但它确实是最朴实的一个。」
去年，Greenfeld 和陶哲轩发现，一个关于高维瓷砖对的一般定理是不可判定的。他们证明，没有人能够弄清楚某些成对的瓷砖是否能够完全覆盖它们所在的空间（无论是周期性的还是非周期性的）。
关于单个瓷砖的定理是否也是不可判定的？自 20 世纪 60 年代以来，人们知道，如果周期性平铺猜想是真的，那么总是有可能确定任何给定的瓷砖是否可以覆盖平面。
但相反的情况不一定是真的。仅仅因为一个非周期性平铺存在，这并不意味着一个不可判定的平铺也存在。
这就是 Greenfeld 和陶哲轩接下来想要弄清楚的事情——如何应用他们为这项成果所开发的一些技术。陶哲轩说：「我们创造的语言应该能够创造出一个不可判定的谜题，这是非常合理的。因此，可能对于一些瓷砖，我们将永远无法证明它是平铺空间还是非平铺空间。」
为了证明一个语句是不可判定的，数学家通常表明它等同于另一个已经知道是不可判定的问题。因此，如果这个平铺问题被证明也是不可判定的，它就可以作为证明其他背景下的不可判定性的又一个工具，这些背景远远超出了关于如何平铺空间的问题。
同时，Greenfeld 和陶哲轩的这项工作也是一种警示。Iosevich 说：「数学家们喜欢漂亮、干净的定理。但你不要相信听到的一切。不幸的是，数学中所有有趣的语句未必都是漂亮的，而且它们不一定按照我们希望的方式运行。」
