尽管 transformer 模型在许多任务中都非常有效，但它们对一些看起来异常简单的形式语言却难以应付。Hahn (2020) 提出一个引理 5），来试图解释这一现象。这个引理是：改变一个输入符号只会将 transformer 的输出改变 𝑂(1/𝑛)，其中 𝑛 是输入字符串的长度。
因此，对于接收（即判定某个字符串是否属于某个特定语言）只取决于单个输入符号的语言，transformer 可能会以很高的准确度接受或拒绝字符串。但是对于大的 𝑛，它必须以较低的置信度做出决策，即给接受字符串的概率略高于 ½，而拒绝字符串的概率略低于 ½。更准确地说，随着 𝑛 的增加，交叉熵接近每个字符串 1 比特，这是最坏情况的可能值。
近期，在论文《Overcoming a Theoretical Limitation of Self-Attention》中，美国圣母大学的两位研究者用以下两个正则语言（PARITY 和 FIRST）来检验这种局限性。
Hahn 引理适用于 PARITY，因为网络必须关注到字符串的所有符号，并且其中任何一个符号的变化都会改变正确答案。研究者同时选择了 FIRST 作为引理适用的最简单语言示例之一。它只需要注意第一个符号，但因为更改这个符号会改变正确答案，所以该引理仍然适用。
尽管该引理可能被解释为是什么限制了 transformer 识别这些语言的能力，但研究者展示了三种可以克服这种限制的方法。
首先，文章通过显式构造表明，以高准确度识别任意长度的语言的 transformer 确实是存在的。研究者已经实现了这些结构并通过实验验证了它们。正如 Hahn 引理所预测的那样，随着输入长度的增加，这个构建的 transformer 的交叉熵接近 1 比特（也就是，仅比随机猜测好一点）。但文章也表明，通过添加层归一化，交叉熵可以任意接近零，而与字符串长度无关。
研究者在实践中还发现，正如 Bhattamishra 等人所指出的，transformer 无法学习 PARITY。也许更令人惊讶的是，在学习 FIRST 时，transformer 可能难以从较短的字符串泛化到较长的字符串。尽管这不是 Hahn 引理的逻辑上可以推出的结果，但它是 Hahn 引理预测行为的结果。幸运的是，这个问题可以通过简单的修改来解决，即将注意力的 logit 乘以 log 𝑛。此修改还改进了机器翻译中在长度方面的泛化能力。
论文地址：https://arxiv.org/pdf/2202.12172.pdf
精确解决方案
克服 Hahn 引理所暗示的缺点的第一种方法是通过显式构造表明 transformer 可以以高精度识别出上述提到的两种语言。
针对 PARITY 的前馈神经网络（FFNN）
Rumelhart 等人表明，对于任何长度𝑛都有一个前馈神经网络 (FFNN) 可以计算长度正好为 𝑛 的字符串的 PARITY。他们还表明，随机初始化的 FFNN 可以自动学习这么做。
由于文章所提出构建方式部分基于他们的，因此详细回顾他们的构建可能会有所帮助。设𝑤为输入字符串，|𝑤| = 𝑛，𝑘是𝑤中 1 的个数。输入是一个向量 x，使得 x_𝑖 = I[𝑤_𝑖 = 1]。第一层计算 𝑘 并将其与 1,2,...,n 进行比较：
因此，
第二层将奇数元素相加并减去偶数元素：
针对 PARITY 的 transformer
命题 1. 存在一个带有 sigmoid 输出层的 transformer，它可以识别（在上述意义上）任意长度字符串的 PARITY 语言。
最初，研究者将构造一个没有层归一化的 transformer 编码器（即 LN(x) = x）；然后展示如何添加层标准化。设 𝑘 是 1 在 𝑤 中出现的次数。网络计算的所有向量都有 𝑑 = 9 维；如果显示出较少的维度，则假设剩余的维度为零。 词和位置嵌入是：
研究者认为，位置编码的第五维使用余弦波是一个相当标准的选择，尽管它的周期 (2) 比标准正弦编码中的最短周期 (2𝜋) 短。第四维度诚然不是标准的；但是，研究者认为这依然是一种合理的编码，并且非常容易计算。因此，单词𝑤_𝑖的编码是：
第二个 head 不做任何事情（W^V,1,2 = 0；query 和 key 可以是任何东西）。在残差连接之后，可以得到：
在 Rumelhart 等人的构造中，下一步是使用阶跃激活函数为每个 𝑖 计算 I[𝑖 ≤ 𝑘]。文章提出的构造有两个不同之处。首先，激活函数采用 ReLU，而不是阶跃激活函数。其次，因为注意力总和必须为 1，如果 𝑛是奇数，那么偶数和奇数位置将获得不同的注意力权重，因此奇数位置减去偶数位置的技巧将不起作用。相反，我们想要计算 I[𝑖 = 𝑘]（如下图 1）。
第一个 FFNN 有两层，第一层是：
由此可以得出：
第二层采用线性的方式把这三个值结合在一起得到想要的 I[𝑖 = 𝑘]。
第二个自注意力层测试位置𝑘是偶数还是奇数。它使用两个 head 来做到这一点，一个更强烈地关注奇数位置，一个更强烈地关注偶数位置；两者的平均维度大小为 8：
针对 FIRST 的 transformer
接下来，研究者为 FIRST 构建一个 transformer。根据学习每个位置词嵌入的常见做法（Gehring 等人，2017 年），他们使用位置编码来测试一个词是否在第 1 个位置 ：
第一层 FFNN 计算一个新的组件（5）来测试是否 i = 1 以及 w_1 = 1。
第二个自注意力层只有一个单一的 head，这使得 CLS 关注于位置 1.
第二层 FFNN 什么都不做（W^F,2,1 = b^F,2,1 = W^F,2,2 = b^F,2,2 = 0)。所以在 CLS 处（位置 0 处）：
最后输出层仅仅选择组件 6。
实验
文章使用 PyTorch 的 transformer 内置实现的修改版本（Paszke 等人，2019）实现了上述两种建构。这些构造对长度从 [1, 1000] 采样的字符串实现了完美的准确性。 然而，在下图 2 中，红色曲线（「没有做层归一化」）表明，随着字符串变长，交叉熵接近每个字符串 1 比特的最坏可能值。
层归一化
减轻或消除 Hahn 引理限制的第二种方法是层归一化 (Ba et al., 2016)，对于任何向量 x，其定义为
实验中，𝛽 = 0 和𝛾 = 1，因此结果的均值近似为零和方差近似为 1。常数 𝜖 没有出现在原始定义中（Ba et al., 2016），但为了数值稳定性，我们知道的所有实现中都添加了常数𝜖。
原始的 transformer 在每个残差连接后立即执行层归一化。在本节中，研究者修改了上面的两个结构的层归一化。，这一修改有两个步骤。
去除中心
第一个是通过使网络计算每个值𝑥以及 -𝑥来消除层归一化的中心效应。新单词的编码是根据原始结构中的编码定义的：
对于自注意力层的参数也是类似。
对于每个位置的 FFNN 参数也类似。
之后，每层的激活值为：
LN 的参数始终具有零均值，因此层标准化不会增加或减少任何内容。它确实缩放了激活，但在上面构建的两个 transformer 的情形中，任何激活层都可以按任何正数进行缩放，而不会改变最终决策。
减少交叉熵
此外，在任何转换器中，我们可以在任意 transformer 中使用层归一化来将交叉熵缩小到想要的任意小，这与 Hahn 的引理 5 相反。在 Hahn 的公式中，像层归一化这样的位置相关的函数可以包含在他的 𝑓^act 中，但是 引理假设 𝑓^act 是 Lipschitz 连续的，而 ϵ = 0 的层归一化不是。
命题 2. 对于任何具有层归一化 (ϵ = 0) 并可以识别语言 L 的 transformer 𝑇，对任何 𝜂 > 0 而言，都存在一个可以以最多𝜂为交叉熵的、带有层归一化的识别语言 L 的 transformer。
证明。让𝑑表示原始激活向量中的维数，𝐿是层数。然后添加一个新层，这个层中的自注意力不做任何事情 (W^V,𝐿+1,ℎ = 0)，并且 FFNN 是根据原始输出层定义的：
这会导致残差连接除了 2 个维度外的所有维度为零，因此如果𝑠是原始输出 logit，则此新层的输出（层归一化之前）为
现在，如果 ϵ = 0，层归一化将该向量缩放到只具有单位方差，因此它变为：
新的输出层只是简单地选择第一维，并把它拓展到 c 倍。
实验
研究者测试了这一解决方案，它在层归一化时进行了如上修改。上图 2 显示 ϵ > 0 的层归一化提高了交叉熵，但它仍然随着 𝑛 增长并接近 1。
可学习性
在本节中，研究者将转向可学习性的问题，这时克服 Hahn 引理所提出的缺陷的第三种方法。
实验：标准的 transformer
研究者在 PARITY 和 FIRST 上训练 transformer。每个 transformer 都具有与对应的精确解相同的层数和头数以及相同的固定位置编码。与单词编码、自注意力相关的 FFNN 输出的𝑑_model 为 16，而与 FFNN 隐藏层相关的𝑑_FFNN 为 64。残差连接之后使用了层归一化（ϵ = 10^-5）。
实验使用 PyTorch 默认的初始化并使用 Adam (Kingma and Ba, 2015) 进行训练，学习率为 3 × 10^−4 (Karpathy, 2016)。实验没有使用 dropout，因为它似乎没有帮助。 FIRST 更容易学习，但坏消息是学习到的 transformer 不能很好地泛化到更长的句子。下图 4（左列）显示，当 transformer 在较短的字符串（𝑛 = 10、30、100、300）上从头开始训练并在较长的字符串（𝑛 = 1000）上进行测试时，准确度并不非常好。事实上，对于𝑛 = 10 上的训练，准确度和随机猜测类似。
长度取对数后拓展的注意力
幸运的是，这个问题很容易通过以 log 𝑛的比例缩放每个注意力层的 logits 来解决，即将注意力重新定义为
然后使用 c = 1 下的针对 FIRST 的 Flawed transformer：
命题 3。对于任何 𝜂 > 0，都存在一个带有如公式 2 所定义的注意力的 transformer，它无论有无层归一化，都可以以最多𝜂的交叉熵来识别 FIRST 语言。
证明。当没有层归一化时，3.3 节中描绘的模型中 c 设为 1，并对注意力的权重进行对数尺度的缩放，它可以将公式（1）中的 s 从公式（1）转化为：
实验：缩放的注意力
下图 4（右栏）的 tranformer 模型使用了 log n 为缩放因子的注意力。
我们可以在稀缺资源英语 - 越南语的机器翻译任务上使用开源 transformer 模型（即 Witwicky）时看到相似的效应（如下表 1 所示）。
当训练集和测试即得长度分布一样得时候，缩放注意力的 logits 没有显著的影响，但如果仅在只有中等甚至更短（小于 20）长度的句子上训练，而测试句子长度大于中等长度（大于 20），缩放注意力则提高了 1 个 BLEU 分数，这在统计上已经很显著了（p 值小于 0.01）。
感兴趣的读者可以阅读论文原文，了解更多研究细节。
