昨天动态规划：关于01背包问题，你该了解这些!中是用二维dp数组来讲解01背包。
今天我们就来说一说滚动数组，其实在前面的题目中我们已经用到过滚动数组了，就是把二维dp降为一维dp，一些录友当时还表示比较困惑。
那么我们通过01背包，来彻底讲一讲滚动数组!
接下来还是用如下这个例子来进行讲解
背包最大重量为4。
物品为：
问背包能背的物品最大价值是多少?
一维dp数组(滚动数组)
对于背包问题其实状态都是可以压缩的。
在使用二维数组的时候，递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
其实可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上，不如只用一个一维数组了，只用dp[j](一维数组，也可以理解是一个滚动数组)。
这就是滚动数组的由来，需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。
读到这里估计大家都忘了 dp[i][j]里的i和j表达的是什么了，i是物品，j是背包容量。
dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
一定要时刻记住这里i和j的含义，要不然很容易看懵了。
动规五部曲分析如下：
1.确定dp数组的定义
在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。
2.一维dp数组的递推公式
dp[j]为 容量为j的背包所背的最大价值，那么如何推导dp[j]呢?
dp[j]可以通过dp[j - weight[i]]推导出来，dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。
dp[j - weight[i]] + value[i] 表示 容量为 j - 物品i重量 的背包 加上 物品i的价值。(也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dp[j])
此时dp[j]有两个选择，一个是取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i，一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品i，指定是取最大的，毕竟是求最大价值，
所以递归公式为：
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
可以看出相对于二维dp数组的写法，就是把dp[i][j]中i的维度去掉了。
3.一维dp数组如何初始化
关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。
dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。
那么dp数组除了下标0的位置，初始为0，其他下标应该初始化多少呢?
看一下递归公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了。
这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了。
那么我假设物品价值都是大于0的，所以dp数组初始化的时候，都初始为0就可以了。
4.一维dp数组遍历顺序
代码如下：
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}这里大家发现和二维dp的写法中，遍历背包的顺序是不一样的!
二维dp遍历的时候，背包容量是从小到大，而一维dp遍历的时候，背包是从大到小。
为什么呢?
倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次!。但如果一旦正序遍历了，那么物品0就会被重复加入多次!
举一个例子：物品0的重量weight[0] = 1，价值value[0] = 15
如果正序遍历
dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15
dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30
此时dp[2]就已经是30了，意味着物品0，被放入了两次，所以不能正序遍历。
为什么倒序遍历，就可以保证物品只放入一次呢?
倒序就是先算dp[2]
dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 15 (dp数组已经都初始化为0)
dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15
所以从后往前循环，每次取得状态不会和之前取得状态重合，这样每种物品就只取一次了。
那么问题又来了，为什么二维dp数组历的时候不用倒序呢?
因为对于二维dp，dp[i][j]都是通过上一层即dp[i - 1][j]计算而来，本层的dp[i][j]并不会被覆盖!
(如何这里读不懂，大家就要动手试一试了，空想还是不靠谱的，实践出真知!)
再来看看两个嵌套for循环的顺序，代码中是先遍历物品嵌套遍历背包容量，那可不可以先遍历背包容量嵌套遍历物品呢?
不可以!
因为一维dp的写法，背包容量一定是要倒序遍历(原因上面已经讲了)，如果遍历背包容量放在上一层，那么每个dp[j]就只会放入一个物品，即：背包里只放入了一个物品。
(这里如果读不懂，就在回想一下dp[j]的定义，或者就把两个for循环顺序颠倒一下试试!)
所以一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维其实是有很大差异的!，这一点大家一定要注意。
5.举例推导dp数组
一维dp，分别用物品0，物品1，物品2 来遍历背包，最终得到结果如下：
动态规划-背包问题9
一维dp01背包完整C++测试代码
void test_1_wei_bag_problem() {
vector<int> weight = {1, 3, 4};
vector<int> value = {15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
// 初始化
vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
test_1_wei_bag_problem();
}
可以看出，一维dp 的01背包，要比二维简洁的多!初始化 和 遍历顺序相对简单了。
所以我倾向于使用一维dp数组的写法，比较直观简洁，而且空间复杂度还降了一个数量级!
在后面背包问题的讲解中，我都直接使用一维dp数组来进行推导。
总结
以上的讲解可以开发一道面试题目(毕竟力扣上没原题)。
就是本文中的题目，要求先实现一个纯二维的01背包，如果写出来了，然后再问为什么两个for循环的嵌套顺序这么写?反过来写行不行?再讲一讲初始化的逻辑。
然后要求实现一个一维数组的01背包，最后再问，一维数组的01背包，两个for循环的顺序反过来写行不行?为什么?
注意以上问题都是在候选人把代码写出来的情况下才问的。
就是纯01背包的题目，都不用考01背包应用类的题目就可以看出候选人对算法的理解程度了。
相信大家读完这篇文章，应该对以上问题都有了答案!
此时01背包理论基础就讲完了，我用了两篇文章把01背包的dp数组定义、递推公式、初始化、遍历顺序从二维数组到一维数组统统深度剖析了一遍，没有放过任何难点。
大家可以发现其实信息量还是挺大的。
如果把动态规划：关于01背包问题，你该了解这些!和本篇的内容都理解了，后面我们在做01背包的题目，就会发现非常简单了。
不用再凭感觉或者记忆去写背包，而是有自己的思考，了解其本质，代码的方方面面都在自己的掌控之中。
即使代码没有通过，也会有自己的逻辑去debug，这样就思维清晰了。
接下来就要开始用这两天的理论基础去做力扣上的背包面试题目了，录友们握紧扶手，我们要上高速啦!
其他语言版本
Java
public static void main(String[] args) {
int[] weight = {1, 3, 4};
int[] value = {15, 20, 30};
int bagWight = 4;
testWeightBagProblem(weight, value, bagWight);
}
public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagWeight){
int wLen = weight.length;
//定义dp数组：dp[j]表示背包容量为j时，能获得的最大价值
int[] dp = new int[bagWeight + 1];
//遍历顺序：先遍历物品，再遍历背包容量
for (int i = 0; i < wLen; i++){
for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--){
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
//打印dp数组
for (int j = 0; j <= bagWeight; j++){
System.out.print(dp[j] + " ");
}
}Python
def test_1_wei_bag_problem():
weight = [1, 3, 4]
value = [15, 20, 30]
bag_weight = 4
# 初始化: 全为0
dp = [0] * (bag_weight + 1)
# 先遍历物品, 再遍历背包容量
for i in range(len(weight)):
for j in range(bag_weight, weight[i] - 1, -1):
# 递归公式
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
print(dp)
test_1_wei_bag_problem()
Go
func test_1_wei_bag_problem(weight, value []int, bagWeight int) int {
// 定义 and 初始化
dp := make([]int,bagWeight+1)
// 递推顺序
for i := 0 ;i < len(weight) ; i++ {
// 这里必须倒序,区别二维,因为二维dp保存了i的状态
for j:= bagWeight; j >= weight[i] ; j-- {
// 递推公式
dp[j] = max(dp[j], dp[j-weight[i]]+value[i])
}
}
//fmt.Println(dp)
return dp[bagWeight]
}
func max(a,b int) int {
if a > b {
return a
}
return b
}
func main() {
weight := []int{1,3,4}
value := []int{15,20,30}
test_1_wei_bag_problem(weight,value,4)
}javaScript
function testWeightBagProblem(wight, value, size) {
const len = wight.length,
dp = Array(size + 1).fill(0);
for(let i = 1; i <= len; i++) {
for(let j = size; j >= wight[i - 1]; j--) {
dp[j] = Math.max(dp[j], value[i - 1] + dp[j - wight[i - 1]]);
}
}
return dp[size];
}
function test () {
console.log(testWeightBagProblem([1, 3, 4, 5], [15, 20, 30, 55], 6));
}
test();
