关于01背包问题，你该了解这些!
这周我们正式开始讲解背包问题!
但说实话，背包九讲对于小白来说确实不太友好，看起来还是有点费劲的，而且都是伪代码理解起来也吃力。
对于面试的话，其实掌握01背包，和完全背包，就够用了，最多可以再来一个多重背包。
如果这几种背包，分不清，我这里画了一个图，如下：
分割等和子集1
至于背包九讲中其他背包，面试几乎不会问，都是竞赛级别的了，leetcode上连多重背包的题目都没有，所以题库也告诉我们，01背包和完全背包就够用了。
而完全背包又是也是01背包稍作变化而来，即：完全背包的物品数量是无限的。
所以背包问题的理论基础重中之重是01背包，一定要理解透!
leetcode上没有纯01背包的问题，都是01背包应用方面的题目，也就是需要转化为01背包问题。
所以我先通过纯01背包问题，把01背包原理讲清楚，后续再讲解leetcode题目的时候，重点就是讲解如何转化为01背包问题了。
之前可能有些录友已经可以熟练写出背包了，但只要把这个文章仔细看完，相信你会意外收获!
01 背包
有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
动态规划-背包问题
这是标准的背包问题，以至于很多同学看了这个自然就会想到背包，甚至都不知道暴力的解法应该怎么解了。
这样其实是没有从底向上去思考，而是习惯性想到了背包，那么暴力的解法应该是怎么样的呢?
每一件物品其实只有两个状态，取或者不取，所以可以使用回溯法搜索出所有的情况，那么时间复杂度就是，这里的n表示物品数量。
所以暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化!
在下面的讲解中，我举一个例子：
背包最大重量为4。
物品为：
| 重量 | 价值 | |
|---|---|---|
| 物品0 | 1 | 15 |
| 物品1 | 3 | 20 |
| 物品2 | 4 | 30 |
问背包能背的物品最大价值是多少?
以下讲解和图示中出现的数字都是以这个例子为例。
二维dp数组01背包
依然动规五部曲分析一波。
确定dp数组以及下标的含义
对于背包问题，有一种写法， 是使用二维数组，即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
只看这个二维数组的定义，大家一定会有点懵，看下面这个图：
动态规划-背包问题1
要时刻记着这个dp数组的含义，下面的一些步骤都围绕这dp数组的含义进行的，如果哪里看懵了，就来回顾一下i代表什么，j又代表什么。
确定递推公式
再回顾一下dp[i][j]的含义：从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
那么可以有两个方向推出来dp[i][j]，
- 不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以被背包内的价值依然和前面相同。)
- 放物品i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] (物品i的价值)，就是背包放物品i得到的最大价值
所以递归公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
dp数组如何初始化
关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。
首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：
动态规划-背包问题2
在看其他情况。
状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。
dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。
那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。
当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。
代码初始化如下：
- for (int j = 0 ; j < weight[0]; j++) { // 当然这一步，如果把dp数组预先初始化为0了，这一步就可以省略，但很多同学应该没有想清楚这一点。
- dp[0][j] = 0;
- }
- // 正序遍历
- for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
- dp[0][j] = value[0];
- }
此时dp数组初始化情况如图所示：
动态规划-背包问题7
dp[0][j] 和 dp[i][0] 都已经初始化了，那么其他下标应该初始化多少呢?
其实从递归公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出dp[i][j] 是由左上方数值推导出来了，那么 其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖。
初始-1，初始-2，初始100，都可以!
但只不过一开始就统一把dp数组统一初始为0，更方便一些。
如图：
动态规划-背包问题10
最后初始化代码如下：
- // 初始化 dp
- vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
- for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
- dp[0][j] = value[0];
- }
费了这么大的功夫，才把如何初始化讲清楚，相信不少同学平时初始化dp数组是凭感觉来的，但有时候感觉是不靠谱的。
确定遍历顺序
在如下图中，可以看出，有两个遍历的维度：物品与背包重量
动态规划-背包问题3
那么问题来了，先遍历 物品还是先遍历背包重量呢?
其实都可以!!但是先遍历物品更好理解。
那么我先给出先遍历物品，然后遍历背包重量的代码。
- // weight数组的大小 就是物品个数
- for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
- for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
- if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
- else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
- }
- }
先遍历背包，再遍历物品，也是可以的!(注意我这里使用的二维dp数组)
例如这样：
- // weight数组的大小 就是物品个数
- for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
- for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
- if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
- else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
- }
- }
为什么也是可以的呢?
要理解递归的本质和递推的方向。
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 递归公式中可以看出dp[i][j]是靠dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]]推导出来的。
dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]] 都在dp[i][j]的左上角方向(包括正上方向)，那么先遍历物品，再遍历背包的过程如图所示：
动态规划-背包问题5
再来看看先遍历背包，再遍历物品呢，如图：
动态规划-背包问题6
大家可以看出，虽然两个for循环遍历的次序不同，但是dp[i][j]所需要的数据就是左上角，根本不影响dp[i][j]公式的推导!
但先遍历物品再遍历背包这个顺序更好理解。
其实背包问题里，两个for循环的先后循序是非常有讲究的，理解遍历顺序其实比理解推导公式难多了。
举例推导dp数组
来看一下对应的dp数组的数值，如图：
动态规划-背包问题4
最终结果就是dp[2][4]。
建议大家此时自己在纸上推导一遍，看看dp数组里每一个数值是不是这样的。
做动态规划的题目，最好的过程就是自己在纸上举一个例子把对应的dp数组的数值推导一下，然后在动手写代码!
很多同学做dp题目，遇到各种问题，然后凭感觉东改改西改改，怎么改都不对，或者稀里糊涂就改过了。
主要就是自己没有动手推导一下dp数组的演变过程，如果推导明白了，代码写出来就算有问题，只要把dp数组打印出来，对比一下和自己推导的有什么差异，很快就可以发现问题了。
完整c++测试代码
- void test_2_wei_bag_problem1() {
- vector<int> weight = {1, 3, 4};
- vector<int> value = {15, 20, 30};
- int bagweight = 4;
- // 二维数组
- vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
- // 初始化
- for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
- dp[0][j] = value[0];
- }
- // weight数组的大小 就是物品个数
- for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
- for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
- if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
- else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
- }
- }
- cout << dp[weight.size() - 1][bagweight] << endl;
- }
- int main() {
- test_2_wei_bag_problem1();
- }
总结
讲了这么多才刚刚把二维dp的01背包讲完，这里大家其实可以发现最简单的是推导公式了，推导公式估计看一遍就记下来了，但难就难在如何初始化和遍历顺序上。
可能有的同学并没有注意到初始化 和 遍历顺序的重要性，我们后面做力扣上背包面试题目的时候，大家就会感受出来了。
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