面试中，除了TopK，是否被问过：求一个正整数的二进制表示包含多少个1?
画外音：姊妹篇《一次搞透，面试中的TopK问题!》。
例如：
- uint32_t i=58585858;
i的二进制表示是：
- 0000 0011 0111 1101 1111 0011 0000 0010
于是，i的二进制表示包含15个1。
到底有几种方法，这些思路里蕴含的优化思路究竟是怎么样的，今天和大家聊一聊。
一、位移法。
思路：既然输入n是uint32，每次取n的最低位，判断是不是1，位移32次，循环判断即可。
伪代码：
- do{
- if ((n&1)==1){
- result++;
- }
- n>>= 1;
- i++;
- } while(i<32);
分析：不管n的二进制表示里包含多少个1，都需要循环计算32次，比较耗时。有没有可能，每次消除掉一个1，这样来降低计算次数呢?
二、求与法。
观察一下n与n-1这两个数的二进制表示：
(1)最末位一个1会变成0;
(2)最末位一个1之后的0会全部变成1;
(3)其他位相同;
栗子：
- x = 1011 0000
- x-1= 1010 1111
- x & (x-1) = 1010 0000
于是，n&(n-1)这个操作，可以起到“消除最后一个1”的功效。
思路：逐步通过n&(n-1)，来消除n末尾的1，消除了多少次，就有多少个1。
伪代码：
- while(n){
- result++;
- n&=(n-1);
- }
分析：这个方法，n的二进制表示有多少个1，就会计算多少次。总的来说，n的长度是32bit，如果n的值选取完全随机，平均期望由16个1构成，平均下来16次，节省一半的计算量。
三、查表法。
空间换时间，是算法优化中最常见的手段，如果有相对充裕的内存，可以有更快的算法。
思路：一个uint32的正整数n，一旦n的值确定，n的二进制表示中包含多少个1也就确定了，理论上无需重新计算：
- 1的二进制表示中包含1个1
- 2的二进制表示中包含1个1
- 3的二进制表示中包含2个1
- …
- 58585858的二进制表示中包含15个1
- ...
提前计算好结果数组：
- result[1]=1;
- result[2]=1;
- result[3]=2;
- …
- result[58585858]=15;
- …
伪代码：
- return result[n];
查表法的好处是，时间复杂度为O(1)，潜在的问题是，需要很大的内存。
内存分析：
- 假如被分析的整数是uint32，打表数组需要记录2^32个正整数的结果。
- n的二进制表示最多包含32个1，存储结果的计数，使用5个bit即可。
- 故，共需要内存2^32 * 5bit = 2.5GB。
画外音：5个bit，能表示00000-11111这32个数。
四、二次查表法。
查表法，非常快，只查询一次，但消耗内存太大，在工程中几乎不被使用。
算法设计，本身是一个时间复杂度与空间复杂度的折衷，增加计算次数，往往能够减少存储空间。
思路：
(1)把uint32的正整数n，分解为低16位正整数n1，和高16正整数n2;
(2)n1查一次表，其二进制表示包含a个1;
(3)n2查一次表，其二进制表示包含b个1;
(4)则，n的二进制表示包含a+b个1;
伪代码：
- uint16 nn1 = n & 0xFFFF;
- uint16 n2 = (n>>16) & 0xFFFF;
- return result[n1]+result[n2];
问题来了：增加了一倍的计算量(1次查表变2次查表)，内存空间是不是对应减少一半呢?
内存分析：
- 被分析的整数变成uint16，打表数组需要记录2^16个正整数的结果。
- n1和n2的二进制表示最多包含16个1，存储结果的计数，使用4个bit即可。
- 故，共需要内存2^16 * 4bit = 32KB。
好神奇!!!
计算量多了1次，内存占用量却由2.5G降到了32K(1万多倍)，是不是很有意思?
五、总结
数1，不难;但其思路有优化过程，并不简单：
(1)位移法，32次计算;
(2)n&(n-1)，能消除一个1，平均16次计算;
(3)查表法，1次查表，2.5G内存;
(4)二次查表法，2次查表，32K内存;
知其然，知其所以然。
思路比结论重要。
【本文为51CTO专栏作者“58沈剑”原创稿件，转载请联系原作者】
