数据结构与算法之使用最小花费爬楼梯

开发 后端 算法
数组的每个下标作为一个阶梯,第 i 个阶梯对应着一个非负数的体力花费值 cost[i](下标从 0 开始)。

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使用最小花费爬楼梯

力扣题目链接:https://leetcode-cn.com/problems/min-cost-climbing-stairs

数组的每个下标作为一个阶梯,第 i 个阶梯对应着一个非负数的体力花费值 cost[i](下标从 0 开始)。

每当你爬上一个阶梯你都要花费对应的体力值,一旦支付了相应的体力值,你就可以选择向上爬一个阶梯或者爬两个阶梯。

请你找出达到楼层顶部的最低花费。在开始时,你可以选择从下标为 0 或 1 的元素作为初始阶梯。

示例 1:

  • 输入:cost = [10, 15, 20]
  • 输出:15
  • 解释:最低花费是从 cost[1] 开始,然后走两步即可到阶梯顶,一共花费 15 。

示例 2:

  • 输入:cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1]
  • 输出:6
  • 解释:最低花费方式是从 cost[0] 开始,逐个经过那些 1 ,跳过 cost[3] ,一共花费 6 。

提示:

  • cost 的长度范围是 [2, 1000]。
  • cost[i] 将会是一个整型数据,范围为 [0, 999] 。

思路

这道题目可以说是昨天动态规划:爬楼梯的花费版本。

注意题目描述:每当你爬上一个阶梯你都要花费对应的体力值,一旦支付了相应的体力值,你就可以选择向上爬一个阶梯或者爬两个阶梯

所以示例1中只花费一个15 就可以到阶梯顶,最后一步可以理解为 不用花费。

读完题大家应该知道指定需要动态规划的,贪心是不可能了。

确定dp数组以及下标的含义

使用动态规划,就要有一个数组来记录状态,本题只需要一个一维数组dp[i]就可以了。

dp[i]的定义:到达第i个台阶所花费的最少体力为dp[i]。(注意这里认为是第一步一定是要花费)

对于dp数组的定义,大家一定要清晰!

确定递推公式

可以有两个途径得到dp[i],一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]。

那么究竟是选dp[i-1]还是dp[i-2]呢?

一定是选最小的,所以dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];

注意这里为什么是加cost[i],而不是cost[i-1],cost[i-2]之类的,因为题目中说了:每当你爬上一个阶梯你都要花费对应的体力值

dp数组如何初始化

根据dp数组的定义,dp数组初始化其实是比较难的,因为不可能初始化为第i台阶所花费的最少体力。

那么看一下递归公式,dp[i]由dp[i-1],dp[i-2]推出,既然初始化所有的dp[i]是不可能的,那么只初始化dp[0]和dp[1]就够了,其他的最终都是dp[0]dp[1]推出。

所以初始化代码为:

  1. vector<int> dp(cost.size()); 
  2. dp[0] = cost[0]; 
  3. dp[1] = cost[1]; 

确定遍历顺序

最后一步,递归公式有了,初始化有了,如何遍历呢?

本题的遍历顺序其实比较简单,简单到很多同学都忽略了思考这一步直接就把代码写出来了。

因为是模拟台阶,而且dp[i]又dp[i-1]dp[i-2]推出,所以是从前到后遍历cost数组就可以了。

但是稍稍有点难度的动态规划,其遍历顺序并不容易确定下来。

例如:01背包,都知道两个for循环,一个for遍历物品嵌套一个for遍历背包容量,那么为什么不是一个for遍历背包容量嵌套一个for遍历物品呢?以及在使用一维dp数组的时候遍历背包容量为什么要倒叙呢?

这些都是遍历顺序息息相关。当然背包问题后续「代码随想录」都会重点讲解的!

举例推导dp数组

拿示例2:cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1] ,来模拟一下dp数组的状态变化,如下:

使用最小花费爬楼梯

如果大家代码写出来有问题,就把dp数组打印出来,看看和如上推导的是不是一样的。

以上分析完毕,整体C++代码如下:

  1. // 版本一 
  2. class Solution { 
  3. public
  4.     int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) { 
  5.         vector<int> dp(cost.size()); 
  6.         dp[0] = cost[0]; 
  7.         dp[1] = cost[1]; 
  8.         for (int i = 2; i < cost.size(); i++) { 
  9.             dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i]; 
  10.         } 
  11.         // 注意最后一步可以理解为不用花费,所以取倒数第一步,第二步的最少值 
  12.         return min(dp[cost.size() - 1], dp[cost.size() - 2]); 
  13.     } 
  14. }; 
  • 时间复杂度:
  • 空间复杂度:

还可以优化空间复杂度,因为dp[i]就是由前两位推出来的,那么也不用dp数组了,C++代码如下:

  1. // 版本二 
  2. class Solution { 
  3. public
  4.     int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) { 
  5.         int dp0 = cost[0]; 
  6.         int dp1 = cost[1]; 
  7.         for (int i = 2; i < cost.size(); i++) { 
  8.             int dpi = min(dp0, dp1) + cost[i]; 
  9.             dp0 = dp1; // 记录一下前两位 
  10.             dp1 = dpi; 
  11.         } 
  12.         return min(dp0, dp1); 
  13.     } 
  14. }; 
  • 时间复杂度:
  • 空间复杂度:

当然我不建议这么写,能写出版本一就可以了,直观简洁!

在后序的讲解中,可能我会忽略这种版本二的写法,大家只要知道有这么个写法就可以了哈。

拓展

这道题描述也确实有点魔幻。

题目描述为:每当你爬上一个阶梯你都要花费对应的体力值,一旦支付了相应的体力值,你就可以选择向上爬一个阶梯或者爬两个阶梯。

示例1:

输入:cost = [10, 15, 20] 输出:15

从题目描述可以看出:要不是第一步不需要花费体力,要不就是第最后一步不需要花费体力,我个人理解:题意说的其实是第一步是要支付费用的!。因为是当你爬上一个台阶就要花费对应的体力值!

所以我定义的dp[i]意思是也是第一步是要花费体力的,最后一步不用花费体力了,因为已经支付了。

当然也可以样,定义dp[i]为:第一步是不花费体力,最后一步是花费体力的。

所以代码这么写:

  1. class Solution { 
  2. public
  3.     int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) { 
  4.         vector<int> dp(cost.size() + 1); 
  5.         dp[0] = 0; // 默认第一步都是不花费体力的 
  6.         dp[1] = 0; 
  7.         for (int i = 2; i <= cost.size(); i++) { 
  8.             dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]); 
  9.         } 
  10.         return dp[cost.size()]; 
  11.     } 
  12. }; 

这么写看上去比较顺,但是就是感觉和题目描述的不太符。哈哈,也没有必要这么细扣题意了,大家只要知道,题目的意思反正就是要不是第一步不花费,要不是最后一步不花费,都可以。

总结

大家可以发现这道题目相对于 昨天的动态规划:爬楼梯有难了一点,但整体思路是一样。

从动态规划:斐波那契数到 动态规划:爬楼梯再到今天这道题目,录友们感受到循序渐进的梯度了嘛。

每个系列开始的时候,都有录友和我反馈说题目太简单了,赶紧上难度,但也有录友和我说有点难了,快跟不上了。

其实我选的题目都是有目的性的,就算是简单题,也是为了练习方法论,然后难度都是梯度上来的,一环扣一环。

但我也可以随便选来一道难题讲呗,这其实是最省事的,不用管什么题目顺序,看心情找一道就讲。

难的是把题目按梯度排好,循序渐进,再按照统一方法论把这些都串起来,哈哈,所以大家不要催我哈,按照我的节奏一步一步来就行啦。

学算法,认准「代码随想录」,没毛病!

其他语言版本

Java

  1. class Solution { 
  2.     public int minCostClimbingStairs(int[] cost) { 
  3.         if (cost == null || cost.length == 0) { 
  4.             return 0; 
  5.         } 
  6.         if (cost.length == 1) { 
  7.             return cost[0]; 
  8.         } 
  9.         int[] dp = new int[cost.length]; 
  10.         dp[0] = cost[0]; 
  11.         dp[1] = cost[1]; 
  12.         for (int i = 2; i < cost.length; i++) { 
  13.             dp[i] = Math.min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i]; 
  14.         } 
  15.         //最后一步,如果是由倒数第二步爬,则最后一步的体力花费可以不用算 
  16.         return Math.min(dp[cost.length - 1], dp[cost.length - 2]); 
  17.     } 

Python

  1. class Solution: 
  2.     def minCostClimbingStairs(self, cost: List[int]) -> int
  3.         dp = [0] * (len(cost)) 
  4.         dp[0] = cost[0] 
  5.         dp[1] = cost[1] 
  6.         for i in range(2, len(cost)): 
  7.             dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i] 
  8.         return min(dp[len(cost) - 1], dp[len(cost) - 2]) 

Go

  1. func minCostClimbingStairs(cost []intint { 
  2.  dp := make([]int, len(cost)) 
  3.  dp[0], dp[1] = cost[0], cost[1] 
  4.  for i := 2; i < len(cost); i++ { 
  5.   dp[i] = min(dp[i-1], dp[i-2]) + cost[i] 
  6.  } 
  7.  return min(dp[len(cost)-1], dp[len(cost)-2]) 
  8.  
  9. func min(a, b intint { 
  10.  if a < b { 
  11.   return a 
  12.  } 
  13.  return b 

 Javascript

  1. var minCostClimbingStairs = function(cost) { 
  2.     const dp = [ cost[0], cost[1] ] 
  3.  
  4.     for (let i = 2; i < cost.length; ++i) { 
  5.         dp[i] = Math.min(dp[i -1] + cost[i], dp[i - 2] + cost[i]) 
  6.     } 
  7.  
  8.     return Math.min(dp[cost.length - 1], dp[cost.length - 2]) 
  9. }; 

 

责任编辑:姜华 来源: 代码随想录
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