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牛顿第三运动定律表述是：相互作用的两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用在同一条直线上。由牛顿在1687年提出，和第一、第二定律共同阐述了经典力学中基本的运动规律。
400年来，事物确实在按照这样的定律运动，比如我们不会从地板上掉下去，是因为地板也在推着我们，为什么划桨可以推动船前进，是因为水也在推动船桨。
当系统处于平衡状态时，没有能量进出，这种基本规则。从数学上讲，这种系统可以用统计力学来完美描述，从而使得人类能够完全模拟物质相变的条件，例如水结冰。
但世界上还有许多并未达到平衡的系统，比如生命本身。
在这样的系统中，牛顿第三定律失效了。芝加哥大学凝聚态理论家Vincenzo Vitelli将其命名为“非互惠系统”。
“想象一下，如果 A对B 粒子的作用方式与 B对A的作用方式不同，并且作用力也不同，这种非互惠（nonreciprocity )关系出现在神经网络中，甚至社会群体中，会变成什么样？”Vitelli说。
对于这些不守规矩的系统，非互惠性占主导，统计力学无法表示相变。我们如何描述这样不断变化的系统呢?
Vitelli和同事在数学对象中找到了答案，称为“奇点”，即两个或多个特征属性变得无法区分并在数学上合二为一的点。
在奇点上，系统的数学行为与其在附近点的行为截然不同，因此奇点通常用来描述系统中的奇怪现象。比如激光，在这个系统中能量不断获得和损失。
现在，Vitelli团队发现，这些奇点也控制着非互惠系统中的相变。对奇点的研究并不是新事，几十年来，物理学家和数学家在各种环境中对它们进行研究，但从未将奇点与相变联系在一起。Vitelli的发现或许将推动数学、物理向前发展。
1、当对称性破裂时，“奇点”出现
这项研究从量子怪异开始。几年前，芝加哥大学博士后研究员Ryo Hanai和他的导师Peter Littlewood，正在研究一种叫做极化子的准粒子。
准粒子本身不是粒子，它是一组量子行为。总体上看，它们的行为类似于一个粒子。当光子(负责光的粒子)与激子(激子本身就是准粒子)耦合时，极化子就出现了。
极化子的质量极低，意味着它们可以移动得非常快，并且可以在比其他粒子更高的温度下形成一种称为玻色-爱因斯坦凝聚体 (Bose-Einstein condensate ，BEC) 的物质状态。在BEC状态下，分离的原子全部坍缩成一个单一的量子态。
相变，例如水冻结，在平衡系统中很容易理解。但芝加哥大学的 Peter Littlewood（左）和 Ryo Hanai 发现，在能量不断泵入的量子系统中，相变可以理解为奇点，称为异常点。
对Hanai和Littlewood来说，这类似于创造激光。他们想知道：非平衡状态如何影响物质跃迁到BEC或其他奇异量子态？特别是，这种变化如何影响系统的对称性?
在物理学中，研究最多的相变出现在磁性材料中，像铁或镍这样的磁性材料中的原子都有一种叫做磁矩（magnetic moment）的东西，可以理解它是一个很小的、单独的磁场。
在磁体中，这些磁矩都指向同一方向并产生磁场。但是，如果将磁性材料加热到足够高，这些磁矩就会变得混乱，有些指向一个方向，有些指向另一个方向--整个磁场消失了，对称性恢复了。
当它冷却时，方向瞬间再次对齐，自由形态的对称性被打破，并恢复磁性。
鸟群也可以被视为对称性的破坏：它们不是以随机的方向飞行，而是像磁铁中的自旋一样排列整齐。但是有一个重要的区别：铁磁相变很容易用统计力学解释，因为它是一个平衡系统。但是鸟类，以及交通中的细胞、细菌和汽车，因为它们有内部能量的来源，所以它们的行为不同。
2、量子研究之外
Hanai和Littlewood因此开始了从生活中最常见的相变到BEC相变的研究。
以水为例：Littlewood说，尽管液态水和蒸汽看起来不同，但它们之间基本上没有对称性区别。从数学上讲，在过渡点，这两种状态是不可区分的。在平衡系统中，那个点称为临界点。
临界现象随处可见——在宇宙学中，在高能物理学中，甚至在生物系统中，但在这些系统中都找不到一个很好的模型来描述量子力学系统与环境耦合时所形成的凝聚物，这种凝聚物经历着持续的阻尼和抽吸（damping and pumping）。
Hanai和Littlewood怀疑临界点和奇点有一些共同的重要属性，即使它们显然来自不同的机制。临界点是一种有趣的数学抽象，但你无法区分这两个阶段。同样的事情也发生在这些极化子系统中。
他们也知道，在数学的基础上，激光，严格来说是物质的一种状态，它和极化子BEC有着相同的基本方程。在2019年发表的一篇论文中，研究人员将这些点联系起来，提出了一种新的、至关重要的通用机制，通过这种机制，奇点导致量子动力学系统中的相变。
“我们认为，这是对这些转变的第一种解释，”Hanai说。
大约在同一时间，Hanai说，他们意识到，即使他们在研究物质的量子态，他们的方程并不依赖于量子力学。
但要实现这个想法，他们需要帮助。他们找到了 Vitelli ，以及Vitelli 实验室中研究经典领域中的不寻常对称性的研究员Michel Fruchart。他们两个关注到了具有非互惠作用的超材料，例如，当超材料被压在一边或另一边时，它们可能表现出不同的反应，也可能表现出特殊的点。
Vitelli 和 Fruchart 想知道：在极化子凝聚中，是否存在一些普遍的原理，是否存在一些关于能量不守恒系统的基本定律?
Vitelli 和同样来自芝加哥大学的 Michel Fruchart 与 Littlewood 和 Hanai 一起，使用分叉理论的数学框架并放宽了对能量格局的通常假设，将他们的量子工作扩展到所有非互惠系统。
3、非互惠性和相变
现在，他们四位开始寻找支持非互惠性和相变之间联系的一般原则。对 Vitelli来说，这考验动手能力。他习惯于构建物理机械系统来说明困难的抽象现象。例如，在过去，他使用乐高积木来构建格子，这些格子成为拓扑材料，边缘移动方式与内部移动方式不同。
他说：“尽管我们谈论的是理论，但仍然可以用玩具来证明。”
但他说，要想获得特别的分数，乐高是不够的。他意识到，使用可以自己移动但受非互惠规则支配的构建块来建模。
但这里有一个非互惠性：每个机器人都被编程为与其他相同颜色的机器人对齐，但它们也被编程为非互惠行为：红色机器人想要与蓝色机器人对齐，而蓝色机器人想要指向相反的方向。
这种安排保证了没有一个机器人会得到它想要的东西。
该小组将机器人分散在地板上，并同时启动它们。几乎立刻就出现了一种模式。机器人开始移动，缓慢但同时地旋转，直到它们基本上都在原地，朝着同一个方向旋转。
Vitelli说，机器人没有内置旋转功能。“这是由于互动规则，他们总是在行动中受挫。但这些旋转恰恰证明了一个系统不平衡时的相变。”
为了更好地探索这种比较，研究人员转向了数学领域的分岔理论。分岔是动态系统行为的一种质的变化，通常表现为一个状态分裂为两个状态。
研究人员还模拟了两组不同关系、以恒定速度移动的智能体。
在左1，红蓝两组随机移动。但左2，蓝色和红色的智能体向同一个方向移动，自发打破对称性并表现出群聚行为。
在左3，红蓝两组随机向相反方向移动时，就会出现类似反群聚的行为。
在非互惠的情况下，在它们绕圈运行的地方出现自发对称破缺。
它在研究与数学混沌相关的系统时很有用，在这种情况下，起始点的微小变化(开始时的一个参数)可能引发结果的巨大变化。通过分岔点的级联，系统从非混沌行为转变为混沌行为。分岔与相变有着长期存在的联系，这四位研究人员基于这种联系更好地理解了非互惠系统。
这意味着他们还必须考虑能源格局。在统计力学中，系统的能量景观显示了能量如何在空间中改变形式(如从势能到动能)。在平衡状态下，物质的各相对应于能量景观的最小值——谷值。但是这种对物质相的解释需要系统最终处于那些极小值，Fruchart说。
Vitelli 说，也许这项新工作最重要的方面是：它揭示了物理学家和数学家用来描述不断变化的系统时，而出现的现有语言的局限性。他说，当平衡是给定的，因为没有能量增加或损失，统计力学根据最小化能量来构建行为和现象。但是当一个系统失去平衡时，“必然地，你不能再用我们熟悉的能量语言来描述它，但你仍然可以在集体状态之间进行转换，”他说。新方法放宽了基本假设，即描述相变必须使能量最小化。
“当我们假设没有互惠关系时，我们就不能再定义我们的能量了，” Vitelli 说，“我们必须将这些转变的语言改写为动态的语言。”
4、寻找更复杂的系统
Vitelli 说，几乎所有具有非互易行为的动力系统都值得用这种新方法进行探索。“这确实是朝着动态不受优化原则控制的系统中集体现象的一般理论迈出的一步。”
为了证明他们的想法是如何协同工作的，研究人员分析了一系列非互惠系统。因为它们与奇点相连的相变类型不能用能量考虑来描述，但这些奇点对称位移只能发生在非互惠系统中。这表明，除了相互作用之外，动力系统中还有一系列可以用新框架描述的现象。
Littlewood说，他们已经开始把这个理论推广到其他不具有相同属性的动力系统中。
Vitelli说，几乎任何具有非互惠行为的动力系统都值得用这种新方法进行探索。“这确实是向不受优化原则支配的系统中集体现象的一般理论迈出的一步。”
Littlewood 说，他最兴奋的是在最复杂的动力系统之一：在人类大脑中寻找相变。
“我们接下来要研究的是神经科学，”他指出，神经元有“多种类型”，有时是兴奋的，有时是抑制的。“很明显，这是非对等的。这意味着它们的连接和相互作用可以通过使用分叉精确地建模，并通过寻找神经元同步和显示周期的相位转换。
这项工作可能与研究人员尚未认识到的其他数学主题有关，比如湍流传输或流体流动。但是非互易系统可能会表现出相变或其他空间模式，目前还缺乏适当的数学语言。
这项工作可能充满了新的机会，也许我们需要新的数学。这是数学和物理相互联系的核心，让两者都受益。
