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在本文中，我们将学习如何计算资本资产定价模型 (CAPM) 并获得贝塔系数。资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model 简称CAPM）是由美国学者于1964年在资产组合理论和资本市场理论的基础上发展起来的，主要研究证券市场中资产的预期收益率与风险资产之间的关系，以及均衡价格是如何形成的，是现代金融市场价格理论的支柱，广泛应用于投资决策和公司理财领域。CAPM 被认为是一个单因子模型，在其之上可以建立更复杂的因子模型。（扫描本文最下方二维码获取全部完整源码和Jupyter Notebook 文件打包下载。）
CAPM 由以下等式表示：
这里，E(ri) 表示资产 i 的预期收益，rf是无风险利率（例如政府债券），E(rm) 是市场的预期收益，β 是贝塔系数。β 可以解释为资产收益的敏感度水平，相对于一般市场水平。β 的一些情况包括：
- β <= -1：资产向与市场基准相反的方向移动，并且大于基准的负值。
- -1 < β < 0：资产向与市场基准相反的方向移动
- β = 0：资产的价格变动与市场基准一致。
- 0 < β < 1：资产与市场同向运动，但金额较小。一个例子是一家公司的股票价格容易受到日常市场波动的影响。
- β = 1：资产和市场正朝着同一方向移动相同数量。
- β > 1：资产与市场同向运动，但金额更大。一个例子是一家公司的股票非常容易受到每日市场新闻的影响。
CAPM 也可以表示为：
这里，等式的左边可以解释为风险溢价，而右侧包含市场溢价。相同的等式可以改写为：
其中：
在这个例子中，我们以亚马逊股票为例并假设标普 500 指数代表市场。我们使用 5 年（2014-2018 年）的月度数据来估计 β。在当前，无风险利率如此之低，为了简单起见，我们假设它等于零。
执行以下步骤以在 Python 中实现 CAPM：
1、导入第三方库：
- import pandas as pd
- import yfinance as yf
- import statsmodels.api as sm
2、指定风险资产和时间范围：
- RISKY_ASSET = 'AMZN'
- MARKET_BENCHMARK = '^GSPC'
- START_DATE = '2014-01-01'
- END_DATE = '2018-12-31'
3、从雅虎财经下载必要的数据：
- df = yf.download([RISKY_ASSET, MARKET_BENCHMARK],
- start=START_DATE,
- end=END_DATE,
- adjusted=True,
- progress=False)
4、重新采样到每月数据并计算简单的回报：
- X = df['Adj Close'].rename(columns={RISKY_ASSET: 'asset',
- MARKET_BENCHMARK: 'market'}) \
- .resample('M') \
- .last() \
- .pct_change() \
- .dropna()
5、使用协方差方法计算 β 值：
- covariance = X.cov().iloc[0,1]
- benchmark_variance = X.market.var()
- beta = covariance / benchmark_variance
代码的结果是 β = 1.6709。
6、准备输入并将 CAPM 估计为线性回归：
- y = X.pop('asset')
- X = sm.add_constant(X)
- capm_model = sm.OLS(y, X).fit()
- print(capm_model.summary())
下图显示了估计 CAPM 模型的结果：
这些结果表明贝塔系数（此处表示为market）等于 1.67，这意味着亚马逊股票的回报比市场波动性高 67%（由标准普尔 500 指数表示市场走势）。截距的值比较小，在 5% 的显著性水平上统计不显著。
首先，我们指定了我们想要使用的资产（亚马逊和标普 500 指数）和时间范围。在第 3 步中，我们从雅虎财经下载了数据。然后，我们只保留了最后一个 每月可用价格并计算每月回报的百分比变化。
在第 5 步中，我们将 β 计算为风险资产与基准方差之间的协方差之比。
在第 6 步中，我们将目标（亚马逊的股票收益）和特征（标准普尔 500 收益）使用 pandas DataFrame 的 pop 方法。之后，我们添加了常量，使用add_constant函数添加到特征（有效地添加一列）。这将截距添加到此回归背后的想法是调查在估计模型——截距（在 CAPM 的情况下，也称为 Jensen's alpha) 是否为零。如果它是积极的和显著的，这意味着——假设 CAPM 模型是真——资产或投资组合会产生异常高的风险调整回报。那么有两个可能的影响——要么市场效率低下，要么还有其他一些未被发现的模型中应包含的风险因素。这个问题被称为联合假设问题。
最后，我们运行 OLS 回归并打印摘要。在这里，我们可以看到market 变量的系数（即 CAPM beta）等于计算步骤 5 中资产与市场之间的协方差。
在主要示例中，我们假设没有无风险利率，这是一个合理的假设。但是，在某些情况下，我们可能希望考虑非零无风险利率。在本节中，我们将介绍三种可能的方法：
- 使用 Kenneth French 教授网站的数据：市场溢价 (rm-rf) 和 无风险利率（近似于 1 个月的国库券）可以从 Kenneth French 教授的网站下载。该指数不同于标准普尔 500 指数——他的网站上有详细说明。
- 第二种选择是近似无风险利率，例如，13 周（3个月）国库券（雅虎金融股票代码：^IRX）。
请按照以下步骤了解如何下载数据并将其转换为适当的无风险利率。
1、以天为单位定义期间的长度：
- N_DAYS = 90
2、从雅虎财经下载数据：
- df_rf = yf.download('^IRX', start=START_DATE, end=END_DATE)
3、将数据重新采样为每月频率（通过为每个月取最后一个值）：
- rf = df_rf.resample('M').last().Close / 100
4、计算无风险收益（表示为每日值）并将值转换为月收益：
- rf = ( 1 / (1 - rf * N_DAYS / 360) )**(1 / N_DAYS)
- rf = (rf ** 30) - 1
5、绘制计算出的无风险利率：
- rf.plot(title='Risk-free rate (13 Week Treasury Bill)')
下图显示了无风险利率随时间的可视化：
- 最后一种方法是使用 3 个月期国库券来估算无风险利率，可以从美联储经济数据 (FRED) 数据库下载。请按照以下步骤学习如何下载数据并将其转换为每月无风险利率：
1、导入第三方库：
- import pandas_datareader.data as web
2、从 FRED 数据库下载数据：
- rf = web.DataReader('TB3MS', 'fred', start=START_DATE,
- end=END_DATE)
3、将获得的无风险利率转换为月值：
- rf = (1 + (rf / 100)) ** (1 / 12) - 1
4、绘制计算出的无风险利率：
- rf.plot(title='Risk-free rate (3-Month Treasury Bill)')
我们可以通过比较两个方法的图来比较两种方法的无风险利率：
我们可以看出来这些图都非常相似。
