二分法我们还需要再练习练习-二分法

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给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。

你可以假设数组中无重复元素。

示例 1:

输入: [1,3,5,6], 5
输出: 2

示例 2:

输入: [1,3,5,6], 2
输出: 1

示例 3:

输入: [1,3,5,6], 7
输出: 4

示例 4:

输入: [1,3,5,6], 0
输出: 0

思路

这道题目不难，但是为什么通过率相对来说并不高呢，我理解是大家对边界处理的判断有所失误导致的。

这道题目，要在数组中插入目标值，无非是这四种情况。

搜索插入位置3

目标值在数组所有元素之前
目标值等于数组中某一个元素
目标值插入数组中的位置
目标值在数组所有元素之后

这四种情况确认清楚了，就可以尝试解题了。

接下来我将从暴力的解法和二分法来讲解此题，也借此好好讲一讲二分查找法。

暴力解法

暴力解题不一定时间消耗就非常高，关键看实现的方式，就像是二分查找时间消耗不一定就很低，是一样的。

C++代码

class Solution { 
public: 
    int searchInsert(vector<int>& nums, int target) { 
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) { 
        // 分别处理如下三种情况 
        // 目标值在数组所有元素之前 
        // 目标值等于数组中某一个元素 
        // 目标值插入数组中的位置 
            if (nums[i] >= target) { // 一旦发现大于或者等于target的num[i]，那么i就是我们要的结果 
                return i; 
            } 
        } 
        // 目标值在数组所有元素之后的情况 
        return nums.size(); // 如果target是最大的，或者 nums为空，则返回nums的长度 
    } 
};

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)

效率如下：

搜索插入位置

二分法

既然暴力解法的时间复杂度是O(n)，就要尝试一下使用二分查找法。

搜索插入位置4

大家注意这道题目的前提是数组是有序数组，这也是使用二分查找的基础条件。

以后大家只要看到面试题里给出的数组是有序数组，都可以想一想是否可以使用二分法。

同时题目还强调数组中无重复元素，因为一旦有重复元素，使用二分查找法返回的元素下表可能不是唯一的。

大体讲解一下二分法的思路，这里来举一个例子，例如在这个数组中，使用二分法寻找元素为5的位置，并返回其下标。

搜索插入位置5

二分查找涉及的很多的边界条件，逻辑比较简单，就是写不好。

相信很多同学对二分查找法中边界条件处理不好。

例如到底是 while(left < right) 还是 while(left <= right)，到底是right = middle呢，还是要right = middle - 1呢?

这里弄不清楚主要是因为对区间的定义没有想清楚，这就是不变量。

要在二分查找的过程中，保持不变量，这也就是循环不变量 (感兴趣的同学可以查一查)。

二分法第一种写法

以这道题目来举例，以下的代码中定义 target 是在一个在左闭右闭的区间里，也就是[left, right] (这个很重要)。

这就决定了这个二分法的代码如何去写，大家看如下代码：

大家要仔细看注释，思考为什么要写while(left <= right)，为什么要写right = middle - 1。

class Solution { 
public: 
    int searchInsert(vector<int>& nums, int target) { 
        int n = nums.size(); 
        int left = 0; 
        int right = n - 1; // 定义target在左闭右闭的区间里，[left, right] 
        while (left <= right) { // 当left==right，区间[left, right]依然有效 
            int middle = left + ((right - left) / 2);// 防止溢出 等同于(left + right)/2 
            if (nums[middle] > target) { 
                right = middle - 1; // target 在左区间，所以[left, middle - 1] 
            } else if (nums[middle] < target) { 
                left = middle + 1; // target 在右区间，所以[middle + 1, right] 
            } else { // nums[middle] == target 
                return middle; 
            } 
        } 
        // 分别处理如下四种情况 
        // 目标值在数组所有元素之前  [0, -1] 
        // 目标值等于数组中某一个元素  return middle; 
        // 目标值插入数组中的位置 [left, right]，return  right + 1 
        // 目标值在数组所有元素之后的情况 [left, right]， return right + 1 
        return right + 1; 
    } 
};

时间复杂度：O(logn)
时间复杂度：O(1)

效率如下：

二分法第二种写法

如果说定义 target 是在一个在左闭右开的区间里，也就是[left, right) 。

那么二分法的边界处理方式则截然不同。

不变量是[left, right)的区间，如下代码可以看出是如何在循环中坚持不变量的。

大家要仔细看注释，思考为什么要写while (left < right)，为什么要写right = middle。

class Solution { 
public: 
    int searchInsert(vector<int>& nums, int target) { 
        int n = nums.size(); 
        int left = 0; 
        int right = n; // 定义target在左闭右开的区间里，[left, right)  target 
        while (left < right) { // 因为left == right的时候，在[left, right)是无效的空间 
            int middle = left + ((right - left) >> 1); 
            if (nums[middle] > target) { 
                right = middle; // target 在左区间，在[left, middle)中 
            } else if (nums[middle] < target) { 
                left = middle + 1; // target 在右区间，在 [middle+1, right)中 
            } else { // nums[middle] == target 
                return middle; // 数组中找到目标值的情况，直接返回下标 
            } 
        } 
        // 分别处理如下四种情况 
        // 目标值在数组所有元素之前 [0,0) 
        // 目标值等于数组中某一个元素 return middle 
        // 目标值插入数组中的位置 [left, right) ，return right 即可 
        // 目标值在数组所有元素之后的情况 [left, right)，return right 即可 
        return right; 
    } 
};

时间复杂度：O(logn)
时间复杂度：O(1)

总结

希望通过这道题目，大家会发现平时写二分法，为什么总写不好，就是因为对区间定义不清楚。

确定要查找的区间到底是左闭右开[left, right)，还是左闭又闭[left, right]，这就是不变量。

然后在二分查找的循环中，坚持循环不变量的原则，很多细节问题，自然会知道如何处理了。

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