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一、是什么
堆(Heap)是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称
堆通常是一个可以被看做一棵完全二叉树的数组对象,如下图:
总是满足下列性质:
- 堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值
- 堆总是一棵完全二叉树
堆又可以分成最大堆和最小堆:
- 最大堆:每个根结点,都有根结点的值大于两个孩子结点的值
- 最小堆:每个根结点,都有根结点的值小于孩子结点的值
二、操作
堆的元素存储方式,按照完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中,如下图:
用一维数组存储则如下:
- [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
根据完全二叉树的特性,可以得到如下特性:
- 数组零坐标代码的是堆顶元素
- 一个节点的父亲节点的坐标等于其坐标除以2整数部分
- 一个节点的左节点等于其本身节点坐标 * 2 + 1
- 一个节点的右节点等于其本身节点坐标 * 2 + 2
根据上述堆的特性,下面构建最小堆的构造函数和对应的属性方法:
- class MinHeap {
- constructor() {
- // 存储堆元素
- this.heap = []
- }
- // 获取父元素坐标
- getParentIndex(i) {
- return (i - 1) >> 1
- }
- // 获取左节点元素坐标
- getLeftIndex(i) {
- return i * 2 + 1
- }
- // 获取右节点元素坐标
- getRightIndex(i) {
- return i * 2 + 2
- }
- // 交换元素
- swap(i1, i2) {
- const temp = this.heap[i1]
- this.heap[i1] = this.heap[i2]
- this.heap[i2] = temp
- }
- // 查看堆顶元素
- peek() {
- return this.heap[0]
- }
- // 获取堆元素的大小
- size() {
- return this.heap.length
- }
- }
涉及到堆的操作有:
- 插入
- 删除
插入
将值插入堆的底部,即数组的尾部,当插入一个新的元素之后,堆的结构就会被破坏,因此需要堆中一个元素做上移操作
将这个值和它父节点进行交换,直到父节点小于等于这个插入的值,大小为k的堆中插入元素的时间复杂度为O(logk)
如下图所示,22节点是新插入的元素,然后进行上移操作:
相关代码如下:
- // 插入元素
- insert(value) {
- this.heap.push(value)
- this.shifUp(this.heap.length - 1)
- }
- // 上移操作
- shiftUp(index) {
- if (index === 0) { return }
- const parentIndex = this.getParentIndex(index)
- if(this.heap[parentIndex] > this.heap[index]){
- this.swap(parentIndex, index)
- this.shiftUp(parentIndex)
- }
- }
删除
常见操作是用数组尾部元素替换堆顶,这里不直接删除堆顶,因为所有的元素会向前移动一位,会破坏了堆的结构
然后进行下移操作,将新的堆顶和它的子节点进行交换,直到子节点大于等于这个新的堆顶,删除堆顶的时间复杂度为O(logk)
整体如下图操作:
相关代码如下:
- // 删除元素
- pop() {
- this.heap[0] = this.heap.pop()
- this.shiftDown(0)
- }
- // 下移操作
- shiftDown(index) {
- const leftIndex = this.getLeftIndex(index)
- const rightIndex = this.getRightIndex(index)
- if (this.heap[leftIndex] < this.heap[index]){
- this.swap(leftIndex, index)
- this.shiftDown(leftIndex)
- }
- if (this.heap[rightIndex] < this.heap[index]){
- this.swap(rightIndex, index)
- this.shiftDown(rightIndex)
- }
- }
时间复杂度
关于堆的插入和删除时间复杂度都是Olog(n),原因在于包含n个节点的完全二叉树,树的高度不会超过log2n
堆化的过程是顺着节点所在路径比较交换的,所以堆化的时间复杂度跟树的高度成正比,也就是Olog(n),插入数据和删除堆顶元素的主要逻辑就是堆化
三、总结
堆是一个完全二叉树
堆中每一个节点的值都必须大于等于(或小于等于)其子树中每个节点的值
对于每个节点的值都大于等于子树中每个节点值的堆,叫作“大顶堆”
对于每个节点的值都小于等于子树中每个节点值的堆,叫作“小顶堆”
根据堆的特性,我们可以使用堆来进行排序操作,也可以使用其来求第几大或者第几小的值
参考文献
https://baike.baidu.com/item/%E5%A0%86/20606834
https://xlbpowder.cn/2021/02/26/%E5%A0%86%E5%92%8C%E5%A0%86%E6%8E%92%E5%BA%8F/