这篇可以说是全网把组合问题如何去重,讲的最清晰的一篇!
组合总和II
力扣题目链接:https://leetcode-cn.com/problems/combination-sum-ii/
给定一个数组 candidates 和一个目标数 target ,找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。
candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用一次。
说明:所有数字(包括目标数)都是正整数。解集不能包含重复的组合。
示例 1: 输入: candidates = [10,1,2,7,6,1,5], target = 8, 所求解集为: [ [1, 7], [1, 2, 5], [2, 6], [1, 1, 6] ]
示例 2: 输入: candidates = [2,5,2,1,2], target = 5, 所求解集为: [ [1,2,2], [5] ]
思路
这道题目和39.组合总和如下区别:
本题candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用一次。
本题数组candidates的元素是有重复的,而39.组合总和是无重复元素的数组candidates
最后本题和39.组合总和要求一样,解集不能包含重复的组合。
本题的难点在于区别2中:集合(数组candidates)有重复元素,但还不能有重复的组合。
一些同学可能想了:我把所有组合求出来,再用set或者map去重,这么做很容易超时!
所以要在搜索的过程中就去掉重复组合。
很多同学在去重的问题上想不明白,其实很多题解也没有讲清楚,反正代码是能过的,感觉是那么回事,稀里糊涂的先把题目过了。
这个去重为什么很难理解呢,所谓去重,其实就是使用过的元素不能重复选取。 这么一说好像很简单!
都知道组合问题可以抽象为树形结构,那么“使用过”在这个树形结构上是有两个维度的,一个维度是同一树枝上使用过,一个维度是同一树层上使用过。没有理解这两个层面上的“使用过” 是造成大家没有彻底理解去重的根本原因。
那么问题来了,我们是要同一树层上使用过,还是同一树枝上使用过呢?
回看一下题目,元素在同一个组合内是可以重复的,怎么重复都没事,但两个组合不能相同。
所以我们要去重的是同一树层上的“使用过”,同一树枝上的都是一个组合里的元素,不用去重。
为了理解去重我们来举一个例子,candidates = [1, 1, 2], target = 3,(方便起见candidates已经排序了)
强调一下,树层去重的话,需要对数组排序!
选择过程树形结构如图所示:
组合总和II
可以看到图中,每个节点相对于 39.组合总和我多加了used数组,这个used数组下面会重点介绍。
回溯三部曲
递归函数参数
与39.组合总和套路相同,此题还需要加一个bool型数组used,用来记录同一树枝上的元素是否使用过。
这个集合去重的重任就是used来完成的。
代码如下:
- vector<vector<int>> result; // 存放组合集合
- vector<int> path; // 符合条件的组合
- void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex, vector<bool>& used) {
递归终止条件
与39.组合总和相同,终止条件为 sum > target 和 sum == target。
代码如下:
- if (sum > target) { // 这个条件其实可以省略
- return;
- }
- if (sum == target) {
- result.push_back(path);
- return;
- }
sum > target 这个条件其实可以省略,因为和在递归单层遍历的时候,会有剪枝的操作,下面会介绍到。
单层搜索的逻辑
这里与39.组合总和最大的不同就是要去重了。
前面我们提到:要去重的是“同一树层上的使用过”,如果判断同一树层上元素(相同的元素)是否使用过了呢。
如果candidates[i] == candidates[i - 1] 并且 used[i - 1] == false,就说明:前一个树枝,使用了candidates[i - 1],也就是说同一树层使用过candidates[i - 1]。
此时for循环里就应该做continue的操作。
这块比较抽象,如图:
组合总和II1
我在图中将used的变化用橘黄色标注上,可以看出在candidates[i] == candidates[i - 1]相同的情况下:
- used[i - 1] == true,说明同一树支candidates[i - 1]使用过
- used[i - 1] == false,说明同一树层candidates[i - 1]使用过
这块去重的逻辑很抽象,网上搜的题解基本没有能讲清楚的,如果大家之前思考过这个问题或者刷过这道题目,看到这里一定会感觉通透了很多!
那么单层搜索的逻辑代码如下:
- for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
- // used[i - 1] == true,说明同一树支candidates[i - 1]使用过
- // used[i - 1] == false,说明同一树层candidates[i - 1]使用过
- // 要对同一树层使用过的元素进行跳过
- if (i > 0 && candidates[i] == candidates[i - 1] && used[i - 1] == false) {
- continue;
- }
- sum += candidates[i];
- path.push_back(candidates[i]);
- used[i] = true;
- backtracking(candidates, target, sum, i + 1, used); // 和39.组合总和的区别1:这里是i+1,每个数字在每个组合中只能使用一次
- used[i] = false;
- sum -= candidates[i];
- path.pop_back();
- }
注意sum + candidates[i] <= target为剪枝操作,在39.组合总和有讲解过!
回溯三部曲分析完了,整体C++代码如下:
- class Solution {
- private:
- vector<vector<int>> result;
- vector<int> path;
- void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex, vector<bool>& used) {
- if (sum == target) {
- result.push_back(path);
- return;
- }
- for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
- // used[i - 1] == true,说明同一树支candidates[i - 1]使用过
- // used[i - 1] == false,说明同一树层candidates[i - 1]使用过
- // 要对同一树层使用过的元素进行跳过
- if (i > 0 && candidates[i] == candidates[i - 1] && used[i - 1] == false) {
- continue;
- }
- sum += candidates[i];
- path.push_back(candidates[i]);
- used[i] = true;
- backtracking(candidates, target, sum, i + 1, used); // 和39.组合总和的区别1,这里是i+1,每个数字在每个组合中只能使用一次
- used[i] = false;
- sum -= candidates[i];
- path.pop_back();
- }
- }
- public:
- vector<vector<int>> combinationSum2(vector<int>& candidates, int target) {
- vector<bool> used(candidates.size(), false);
- path.clear();
- result.clear();
- // 首先把给candidates排序,让其相同的元素都挨在一起。
- sort(candidates.begin(), candidates.end());
- backtracking(candidates, target, 0, 0, used);
- return result;
- }
- };
补充
这里直接用startIndex来去重也是可以的, 就不用used数组了。
- class Solution {
- private:
- vector<vector<int>> result;
- vector<int> path;
- void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
- if (sum == target) {
- result.push_back(path);
- return;
- }
- for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
- // 要对同一树层使用过的元素进行跳过
- if (i > startIndex && candidates[i] == candidates[i - 1]) {
- continue;
- }
- sum += candidates[i];
- path.push_back(candidates[i]);
- backtracking(candidates, target, sum, i + 1); // 和39.组合总和的区别1,这里是i+1,每个数字在每个组合中只能使用一次
- sum -= candidates[i];
- path.pop_back();
- }
- }
- public:
- vector<vector<int>> combinationSum2(vector<int>& candidates, int target) {
- path.clear();
- result.clear();
- // 首先把给candidates排序,让其相同的元素都挨在一起。
- sort(candidates.begin(), candidates.end());
- backtracking(candidates, target, 0, 0);
- return result;
- }
- };
总结
本题同样是求组合总和,但就是因为其数组candidates有重复元素,而要求不能有重复的组合,所以相对于39.组合总和难度提升了不少。
关键是去重的逻辑,代码很简单,网上一搜一大把,但几乎没有能把这块代码含义讲明白的,基本都是给出代码,然后说这就是去重了,究竟怎么个去重法也是模棱两可。
所以Carl有必要把去重的这块彻彻底底的给大家讲清楚,就连“树层去重”和“树枝去重”都是我自创的词汇,希望对大家理解有帮助!
其他语言版本
Java
- class Solution {
- List<List<Integer>> lists = new ArrayList<>();
- Deque<Integer> deque = new LinkedList<>();
- int sum = 0;
- public List<List<Integer>> combinationSum2(int[] candidates, int target) {
- //为了将重复的数字都放到一起,所以先进行排序
- Arrays.sort(candidates);
- //加标志数组,用来辅助判断同层节点是否已经遍历
- boolean[] flag = new boolean[candidates.length];
- backTracking(candidates, target, 0, flag);
- return lists;
- }
- public void backTracking(int[] arr, int target, int index, boolean[] flag) {
- if (sum == target) {
- lists.add(new ArrayList(deque));
- return;
- }
- for (int i = index; i < arr.length && arr[i] + sum <= target; i++) {
- //出现重复节点,同层的第一个节点已经被访问过,所以直接跳过
- if (i > 0 && arr[i] == arr[i - 1] && !flag[i - 1]) {
- continue;
- }
- flag[i] = true;
- sum += arr[i];
- deque.push(arr[i]);
- //每个节点仅能选择一次,所以从下一位开始
- backTracking(arr, target, i + 1, flag);
- int temp = deque.pop();
- flag[i] = false;
- sum -= temp;
- }
- }
- }
Python
- class Solution:
- def combinationSum2(self, candidates: List[int], target: int) -> List[List[int]]:
- res = []
- path = []
- def backtrack(candidates,target,sum,startIndex):
- if sum == target: res.append(path[:])
- for i in range(startIndex,len(candidates)): #要对同一树层使用过的元素进行跳过
- if sum + candidates[i] > target: return
- if i > startIndex and candidates[i] == candidates[i-1]: continue #直接用startIndex来去重,要对同一树层使用过的元素进行跳过
- sum += candidates[i]
- path.append(candidates[i])
- backtrack(candidates,target,sum,i+1) #i+1:每个数字在每个组合中只能使用一次
- sum -= candidates[i] #回溯
- path.pop() #回溯
- candidates = sorted(candidates) #首先把给candidates排序,让其相同的元素都挨在一起。
- backtrack(candidates,target,0,0)
- return res
Go:
主要在于如何在回溯中去重
- func combinationSum2(candidates []int, target int) [][]int {
- var trcak []int
- var res [][]int
- var history map[int]bool
- history=make(map[int]bool)
- sort.Ints(candidates)
- backtracking(0,0,target,candidates,trcak,&res,history)
- return res
- }
- func backtracking(startIndex,sum,target int,candidates,trcak []int,res *[][]int,history map[int]bool){
- //终止条件
- if sum==target{
- tmp:=make([]int,len(trcak))
- copy(tmp,trcak)//拷贝
- *res=append(*res,tmp)//放入结果集
- return
- }
- if sum>target{return}
- //回溯
- // used[i - 1] == true,说明同一树支candidates[i - 1]使用过
- // used[i - 1] == false,说明同一树层candidates[i - 1]使用过
- for i:=startIndex;i<len(candidates);i++{
- if i>0&&candidates[i]==candidates[i-1]&&history[i-1]==false{
- continue
- }
- //更新路径集合和sum
- trcak=append(trcak,candidates[i])
- sum+=candidates[i]
- history[i]=true
- //递归
- backtracking(i+1,sum,target,candidates,trcak,res,history)
- //回溯
- trcak=trcak[:len(trcak)-1]
- sum-=candidates[i]
- history[i]=false
- }
- }