一篇让你学会组合问题！

组合

力扣题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/combinations/

给定两个整数 n 和 k，返回 1 ... n 中所有可能的 k 个数的组合。

示例: 输入: n = 4, k = 2 输出: [ [2,4], [3,4], [2,3], [1,2], [1,3], [1,4], ]

本题这是回溯法的经典题目。

直接的解法当然是使用for循环，例如示例中k为2，很容易想到 用两个for循环，这样就可以输出 和示例中一样的结果。

代码如下：

int n = 4; 
for (int i = 1; i <= n; i++) { 
    for (int j = i + 1; j <= n; j++) { 
        cout << i << " " << j << endl; 
    } 
} 

输入：n = 100, k = 3 那么就三层for循环，代码如下：

int n = 100; 
for (int i = 1; i <= n; i++) { 
    for (int j = i + 1; j <= n; j++) { 
        for (int u = j + 1; u <= n; n++) { 
            cout << i << " " << j << " " << u << endl; 
        } 
    } 
} 

如果n为100，k为50呢，那就50层for循环，是不是开始窒息。

此时就会发现虽然想暴力搜索，但是用for循环嵌套连暴力都写不出来!

咋整?

回溯搜索法来了，虽然回溯法也是暴力，但至少能写出来，不像for循环嵌套k层让人绝望。

那么回溯法怎么暴力搜呢?

上面我们说了要解决 n为100，k为50的情况，暴力写法需要嵌套50层for循环，那么回溯法就用递归来解决嵌套层数的问题。

递归来做层叠嵌套(可以理解是开k层for循环)，每一次的递归中嵌套一个for循环，那么递归就可以用于解决多层嵌套循环的问题了。

此时递归的层数大家应该知道了，例如：n为100，k为50的情况下，就是递归50层。

一些同学本来对递归就懵，回溯法中递归还要嵌套for循环，可能就直接晕倒了!

如果脑洞模拟回溯搜索的过程，绝对可以让人窒息，所以需要抽象图形结构来进一步理解。

我们在关于回溯算法，你该了解这些!中说道回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构(N叉树)，用树形结构来理解回溯就容易多了。

那么我把组合问题抽象为如下树形结构：

77.组合

可以看出这个棵树，一开始集合是 1，2，3，4， 从左向右取数，取过的数，不在重复取。

第一次取1，集合变为2，3，4 ，因为k为2，我们只需要再取一个数就可以了，分别取2，3，4，得到集合[1,2] [1,3] [1,4]，以此类推。

每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围。

图中可以发现n相当于树的宽度，k相当于树的深度。

那么如何在这个树上遍历，然后收集到我们要的结果集呢?

图中每次搜索到了叶子节点，我们就找到了一个结果。

相当于只需要把达到叶子节点的结果收集起来，就可以求得 n个数中k个数的组合集合。

在关于回溯算法，你该了解这些!中我们提到了回溯法三部曲，那么我们按照回溯法三部曲开始正式讲解代码了。

回溯法三部曲

递归函数的返回值以及参数

在这里要定义两个全局变量，一个用来存放符合条件单一结果，一个用来存放符合条件结果的集合。

代码如下：

vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合 
vector<int> path; // 用来存放符合条件结果 

其实不定义这两个全局遍历也是可以的，把这两个变量放进递归函数的参数里，但函数里参数太多影响可读性，所以我定义全局变量了。

函数里一定有两个参数，既然是集合n里面取k的数，那么n和k是两个int型的参数。

然后还需要一个参数，为int型变量startIndex，这个参数用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历(集合就是[1,...,n] )。

为什么要有这个startIndex呢?

每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围，就是要靠startIndex。

从下图中红线部分可以看出，在集合[1,2,3,4]取1之后，下一层递归，就要在[2,3,4]中取数了，那么下一层递归如何知道从[2,3,4]中取数呢，靠的就是startIndex。

组合2

所以需要startIndex来记录下一层递归，搜索的起始位置。

那么整体代码如下：

vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合 
vector<int> path; // 用来存放符合条件单一结果 
void backtracking(int n, int k, int startIndex) 

回溯函数终止条件

什么时候到达所谓的叶子节点了呢?

path这个数组的大小如果达到k，说明我们找到了一个子集大小为k的组合了，在图中path存的就是根节点到叶子节点的路径。

如图红色部分：

组合3

此时用result二维数组，把path保存起来，并终止本层递归。

所以终止条件代码如下：

if (path.size() == k) { 
    result.push_back(path); 
    return; 
} 

• 单层搜索的过程

回溯法的搜索过程就是一个树型结构的遍历过程，在如下图中，可以看出for循环用来横向遍历，递归的过程是纵向遍历。

组合1

如此我们才遍历完图中的这棵树。

for循环每次从startIndex开始遍历，然后用path保存取到的节点i。

代码如下：

for (int i = startIndex; i <= n; i++) { // 控制树的横向遍历 
    path.push_back(i); // 处理节点 
    backtracking(n, k, i + 1); // 递归：控制树的纵向遍历，注意下一层搜索要从i+1开始 
    path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点 
} 

可以看出backtracking(递归函数)通过不断调用自己一直往深处遍历，总会遇到叶子节点，遇到了叶子节点就要返回。

backtracking的下面部分就是回溯的操作了，撤销本次处理的结果。

关键地方都讲完了，组合问题C++完整代码如下：

class Solution { 
private: 
    vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合 
    vector<int> path; // 用来存放符合条件结果 
    void backtracking(int n, int k, int startIndex) { 
        if (path.size() == k) { 
            result.push_back(path); 
            return; 
        } 
        for (int i = startIndex; i <= n; i++) { 
            path.push_back(i); // 处理节点 
            backtracking(n, k, i + 1); // 递归 
            path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点 
        } 
    } 
public: 
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) { 
        result.clear(); // 可以不写 
        path.clear();   // 可以不写 
        backtracking(n, k, 1); 
        return result; 
    } 
}; 

还记得我们在关于回溯算法，你该了解这些!中给出的回溯法模板么?

如下：

void backtracking(参数) { 
    if (终止条件) { 
        存放结果; 
        return; 
    } 
 
    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) { 
        处理节点; 
        backtracking(路径，选择列表); // 递归 
        回溯，撤销处理结果 
    } 
} 

对比一下本题的代码，是不是发现有点像! 所以有了这个模板，就有解题的大体方向，不至于毫无头绪。

总结

组合问题是回溯法解决的经典问题，我们开始的时候给大家列举一个很形象的例子，就是n为100，k为50的话，直接想法就需要50层for循环。

从而引出了回溯法就是解决这种k层for循环嵌套的问题。

然后进一步把回溯法的搜索过程抽象为树形结构，可以直观的看出搜索的过程。

接着用回溯法三部曲，逐步分析了函数参数、终止条件和单层搜索的过程。

剪枝优化

我们说过，回溯法虽然是暴力搜索，但也有时候可以有点剪枝优化一下的。

在遍历的过程中有如下代码：

for (int i = startIndex; i <= n; i++) { 
    path.push_back(i); 
    backtracking(n, k, i + 1); 
    path.pop_back(); 
} 

这个遍历的范围是可以剪枝优化的，怎么优化呢?

来举一个例子，n = 4，k = 4的话，那么第一层for循环的时候，从元素2开始的遍历都没有意义了。在第二层for循环，从元素3开始的遍历都没有意义了。

这么说有点抽象，如图所示：

组合4

图中每一个节点(图中为矩形)，就代表本层的一个for循环，那么每一层的for循环从第二个数开始遍历的话，都没有意义，都是无效遍历。

所以，可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置。

如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了。

注意代码中i，就是for循环里选择的起始位置。

for (int i = startIndex; i <= n; i++) { 

接下来看一下优化过程如下：

已经选择的元素个数：path.size();

还需要的元素个数为: k - path.size();

在集合n中至多要从该起始位置 : n - (k - path.size()) + 1，开始遍历

为什么有个+1呢，因为包括起始位置，我们要是一个左闭的集合。

举个例子，n = 4，k = 3， 目前已经选取的元素为0(path.size为0)，n - (k - 0) + 1 即 4 - ( 3 - 0) + 1 = 2。

从2开始搜索都是合理的，可以是组合[2, 3, 4]。

这里大家想不懂的话，建议也举一个例子，就知道是不是要+1了。

所以优化之后的for循环是：

for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) // i为本次搜索的起始位置 

优化后整体代码如下：

class Solution { 
private: 
    vector<vector<int>> result; 
    vector<int> path; 
    void backtracking(int n, int k, int startIndex) { 
        if (path.size() == k) { 
            result.push_back(path); 
            return; 
        } 
        for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) { // 优化的地方 
            path.push_back(i); // 处理节点 
            backtracking(n, k, i + 1); 
            path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点 
        } 
    } 
public: 
 
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) { 
        backtracking(n, k, 1); 
        return result; 
    } 
}; 

剪枝总结

本篇我们准对求组合问题的回溯法代码做了剪枝优化，这个优化如果不画图的话，其实不好理解，也不好讲清楚。

所以我依然是把整个回溯过程抽象为一颗树形结构，然后可以直观的看出，剪枝究竟是剪的哪里。

其他语言版本

Java

class Solution { 
    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>(); 
    LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>(); 
    public List<List<Integer>> combine(int n, int k) { 
        combineHelper(n, k, 1); 
        return result; 
    } 
 
    /** 
     * 每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围，就是要靠startIndex 
     * @param startIndex 用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,...,n] ）。 
     */ 
    private void combineHelper(int n, int k, int startIndex){ 
        //终止条件 
        if (path.size() == k){ 
            result.add(new ArrayList<>(path)); 
            return; 
        } 
        for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++){ 
            path.add(i); 
            combineHelper(n, k, i + 1); 
            path.removeLast(); 
        } 
    } 
} 

Python

class Solution: 
    def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]: 
        res=[]  #存放符合条件结果的集合 
        path=[]  #用来存放符合条件结果 
        def backtrack(n,k,startIndex): 
            if len(path) == k: 
                res.append(path[:]) 
                return 
            for i in range(startIndex,n+1): 
                path.append(i)  #处理节点 
                backtrack(n,k,i+1)  #递归 
                path.pop()  #回溯，撤销处理的节点 
        backtrack(n,k,1) 
        return res 

Go

var res [][]int 
func combine(n int, k int) [][]int { 
   res=[][]int{} 
   if n <= 0 || k <= 0 || k > n { 
  return res 
 } 
    backtrack(n, k, 1, []int{}) 
 return res 
} 
func backtrack(n,k,start int,track []int){ 
    if len(track)==k{ 
        temp:=make([]int,k) 
        copy(temp,track) 
        res=append(res,temp) 
    } 
    if len(track)+n-start+1 < k { 
   return 
  } 
    for i:=start;i<=n;i++{ 
        track=append(track,i) 
        backtrack(n,k,i+1,track) 
        track=track[:len(track)-1] 
    } 
}