AVL 树的意义：是二分查找树 BST 。二分查找树查找某个值时，时间复杂度是 O(h) ，因此，我们让树的尽可能平衡，即最大高度尽可能的小。因此有了 AVL 。
参考例题：
- AcWing：AVL树的根[1]
百度百科[2]：在计算机科学中，AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树。在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1，所以它也被称为高度平衡树。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。AVL树得名于它的发明者G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis，他们在1962年的论文《An algorithm for the organization of information》中发表了它。
BST 本质上是维护一个有序序列，AVL 树中的左旋右旋操作，并不会改变树的中序遍历结果。
上图中把 A 右旋是怎么做的呢?把 B 旋转到根节点，然后把 A 变成 B 的右孩子，把 E 补偿给 A 作为 A 的左孩子。
左旋和右旋
对节点 u 右旋：
- 根 u 的左儿子变成新的根 p
- 根的左儿子变成新的根 p 原本的右儿子
- 新的根 p 的右儿子变成了原本的根 u
- u 和 p 的高度都需要更新
- void R(int& u)
- {
- int p = l[u];
- l[u] = r[p], r[p] = u;
- update(u), update(p);
- u = p;
- }
对节点 u 右旋：
- 根 u 的右儿子变成新的根 p
- 根的右儿子变成新的根 p 原本的左儿子
- 新的根 p 的左儿子变成了原本的根 u
- u 和 p 的高度都需要更新
- void L(int& u)
- {
- int p = r[u];
- r[u] = l[p], l[p] = u;
- update(u), update(p);
- u = p;
- }
高度更新由左右儿子决定，因为求高度时，默认其两个儿子已经更新完高度了：
- void update(int u)
- {
- h[u] = max(h[l[u]], h[r[u]]) + 1;
- }
插入的四种情况
四种情况
(一)新数字插到了左子树，导致左子树比右子树高2;左孩子的左子树比其右子树高1
对于四种情况中的①。应该右旋 A 。
实例如上图，右旋 88 即可。
(二)新数字插到了左子树，导致左子树比右子树高2;左孩子的右子树比其左子树高1
对于四种情况中的③。应该左旋 B 再右旋 A 。
对应的情况如如下：
- 70
- 61
- 65
- // 左旋 61
- 70
- 65
- 61
- // 右旋 70
- 65
- 61 70
(三)新数字插到了右子树，导致右子树比左子树高2;右孩子的右子树比其左子树高1
对于四种情况中的②。应该左旋 A 。
对应的情况如 88 96 120 ，左旋 88 即可。
(四)新数字插到了右子树，导致右子树比左子树高2;右孩子的左子树比其右子树高1
对于四种情况中的④。应该右旋 B 再左旋 A 。
对应的情况如如下：
- 70
- 96
- 88
- // 右旋 96
- 70
- 88
- 96
- // 左旋 70
- 96
- 70 88
插入的代码
- void insert(int& u, int w)
- {
- if (!u) u = ++ idx, v[u] = w;
- else if (w < v[u])
- {
- insert(l[u], w);
- if (get_balance(u) == 2)
- {
- if (get_balance(l[u]) == 1) R(u);
- else L(l[u]), R(u);
- }
- }
- else
- {
- insert(r[u], w);
- if (get_balance(u) == -2)
- {
- if (get_balance(r[u]) == -1) L(u);
- else R(r[u]), L(u);
- }
- }
- update(u);
- }
参考资料
[1]AVL树的根: https://www.acwing.com/problem/content/description/1554/
[2]百度百科: https://baike.baidu.com/item/AVL%E6%A0%91/10986648
