本文转载自微信公众号「python与大数据分析」，作者一只小小鸟鸟。转载本文请联系python与大数据分析公众号。
函数的和、差、积、商的求导法则
u=u(x),v=v(x)
(u+v)'=u'+v'
(u-v)'=u'-v'
(Cu)'=Cu'
(uv)'=u'v+uv'
(u/v)'=(u'v-uv')/v^2
复合函数求导法则
y=f(u)，u=φ(v)
复合函数y=f[φ(v)]的导数为
dy/dx=dy/du*du/dx=f'(u)*φ'(v)
(u-v+z)'=u'-v'+z'，且(Cu)'=Cu'
exam1:
y =2*x*^3 -5*x^2+3*x-7
y'=6*x^2-10x+3+0
exam2:
f(x)=x^3+4cosx-sin(π/2)
f'(x)=(x^3)‘+(4cosx)‘-(sin(π/2))‘=3x^2-4sinx-0
f'(π/2)=f'(x)|x=(π/2)=3x^2-4sinx=3*(π/2)^2-4sin(π/2)=3/4π^2-4
exam3:
y=√x*lnx
y'=(√x)'*lnx+√x*(lnx)'=1/(2*√x)*lnx+√x*1/x=1/(√x)*(1/2*lnx+1)
exam4:
y=e^x(sinx+cosx)
y'=(e^x)'(sinx+cosx)+e^x(sinx+cosx)'=e^x(sinx+cosx)+e^x(cosx-sinx)=2e^xcosx
高阶导数
y=f(x)
y'=f'(x)
y''=(y')'=d^2y/dx^2=d/dx(dy/dx)
导数的应用：函数单调性
通过函数的导数的值，可以判断出函数的单调性、驻点以及极值点：
若导数大于0，则单调递增;
若导数小于0，则单调递减;
导数等于零d的点为函数驻点
曲线的凹凸性，设函数f(x) 在区间I 上有二阶导数
(1) 在 I 内 f''(x)>0则 f(x)在 I 内图形是凹的 ;
(2) 在 I 内 f''(x)<0则 f(x)在 I 内图形是凸的 .
- #!/usr/bin/env python
- # -*- coding: UTF-8 -*-
- # _ooOoo_
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- # 88" . "88
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- # ==`-.____`-.___\_____/___.-`____.-'==
- # `=---='
- '''
- @Project ：pythonalgorithms
- @File ：Nderivatives.py
- @Author ：不胜人生一场醉@Date ：2021/8/3 1:17
- '''
- import matplotlib.pyplot as plt
- import numpy as np
- import math
- import sympy
- if __name__ == '__main__':
- nderivativeplot()
- # f(x)=x^3+3x^2-24x-20
- # f'(x)=3x^2+6x-24
- # f''(x)=6x+6
- def nderivativeplot():
- plt.figure(figsize=(5, 8))
- ax = plt.gca() # 通过gca:get current axis得到当前轴
- plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 绘图中文
- plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 绘图负号
- x = np.linspace(-10,10, 200)
- y = np.power(x,3)+3*np.power(x,2)-24*x-20
- yd = 3*np.power(x,2)+6*x-24
- ydd=6*x+6
- label = '函数f(x)=x^3+3x^2-24x-20的曲线'
- plt.plot(x, y, label=label)
- label = "导数f'(x)=3x^2+6x-24的曲线"
- plt.plot(x, yd, label=label)
- label = "导数f''(x)=6x+6的曲线"
- plt.plot(x, ydd, label=label)
- # 设置图片的右边框和上边框为不显示
- ax.spines['right'].set_color('none')
- ax.spines['top'].set_color('none')
- # 挪动x，y轴的位置，也就是图片下边框和左边框的位置
- # data表示通过值来设置x轴的位置，将x轴绑定在y=0的位置
- ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))
- # axes表示以百分比的形式设置轴的位置，即将y轴绑定在x轴50%的位置
- # ax.spines['left'].set_position(('axes', 0.5))
- ax.spines['left'].set_position(('data', 0))
- plt.title("函数、一阶导数、二阶导数")
- plt.legend(loc='upper right')
- plt.show()
