Python实现之初等函数三之三角函数

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本文转载自微信公众号「python与大数据分析」，作者一只小小鸟鸟。转载本文请联系python与大数据分析公众号。

三角函数在python和numpy中实现的不够全面，主要包括cos, cosh, sin sinh, tan, tanh三角函数和arccos, arccosh, arcsin, arcsinh, arctan, arctanh反三角函数，cot,sec,csc,arccot,arcsec,arccsc均为提供，不过可以通过其他函数进行组合或变形得以实现。

三角函数是基本初等函数之一，是以角度(数学上最常用弧度制，下同)为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。

反三角函数是一种基本初等函数。它是反正弦arcsin x，反余弦arccos x，反正切arctan x，反余切arccot x，反正割arcsec x，反余割arccsc x这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切 ，正割，余割为x的角

#!/usr/bin/env python 
# -*- coding: UTF-8 -*- 
#                     _ooOoo_ 
#                   o8888888o 
#                    88" . "88 
#                 ( | -  _  - | ) 
#                     O\ = /O 
#                 ____/`---'\____ 
#                  .' \\| |// `. 
#                 / \\|||:|||// \ 
#               / _|||||-:- |||||- \ 
#                | | \\\ - /// | | 
#              | \_| ''\---/'' | _/ | 
#               \ .-\__ `-` ___/-. / 
#            ___`. .' /--.--\ `. . __ 
#         ."" '< `.___\_<|>_/___.' >'"". 
#       | | : `- \`.;`\  _ /`;.`/ - ` : | | 
#          \ \ `-. \_ __\ /__ _/ .-` / / 
#      ==`-.____`-.___\_____/___.-`____.-'== 
#                     `=---=' 
''' 
@Project ：pythonalgorithms  
@File ：trigonometric.py 
@Author ：不胜人生一场醉@Date ：2021/7/26 23:28  
''' 
import matplotlib.pyplot as plt 
import numpy as np 
import math 
import mpl_toolkits.axisartist as axisartist  # 导入坐标轴加工模块 
# 三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。 
# 也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用， 
# 也是研究周期性现象的基础数学工具。 
# 在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。 
# 正弦函数 ：y =sin x 
# 正弦（sine），数学术语，在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA（由英语sine一词简写得来），即sinA=∠A的对边/斜边。 
# 余弦函数 ：y =cos x 
# 余弦（余弦函数）。在Rt△ABC（直角三角形）中，∠C=90°（如概述图所示），∠A的余弦是它的邻边比三角形的斜边，即cosA=b/c，也可写为cosa=AC/AB。余弦函数：f(x)=cosx（x∈R） 
# 平方和关系 
# （sinα）^2 +（cosα）^2=1 
# 积的关系 
# sinα = tanα × cosα（即sinα / cosα = tanα ） 
# cosα = cotα × sinα （即cosα / sinα = cotα） 
# tanα = sinα × secα (即 tanα / sinα = secα) 
# 倒数关系 
# tanα × cotα = 1 
# sinα × cscα = 1 
# cosα × secα = 1 
# 商的关系 
# sinα / cosα = tanα = secα / cscα 
# 和角公式 
# sin ( α ± β ) = sinα · cosβ ± cosα · sinβ 
# sin ( α + β + γ ) = sinα · cosβ · cosγ + cosα · sinβ · cosγ + cosα · cosβ · sinγ - sinα · sinβ · sinγ 
# cos ( α ± β ) = cosα cosβ ∓ sinβ sinα 
# tan ( α ± β ) = ( tanα ± tanβ ) / ( 1 ∓ tanα tanβ ) 
# 倍角半角公式 
# sin ( 2α ) = 2sinα · cosα [1] 
# sin ( 3α ) = 3sinα - 4sin & sup3 ; ( α ) = 4sinα · sin ( 60 + α ) sin ( 60 - α ) 
# sin ( α / 2 ) = ± √( ( 1 - cosα ) / 2) 
# 级数展开 
# sin x = x - x3 / 3! + x5 / 5! - ... ( - 1 ) k - 1 * x 2 k - 1 / ( 2k - 1 ) ! + ... ( - ∞ < x < ∞ ) 
# 导数 
# （ sinx ） ' = cosx 
# （ cosx ) ' = ﹣ sinx 
 
if __name__ == "__main__": 
   sincosfunction() 
   tanctnfunction() 
   seccscfunction() 
   arcsincosfunction() 
   arccscfunction() 

def sincosfunction(): 
   plt.figure(figsize=(10, 5)) 
   ax = plt.gca()  # 通过gca:get current axis得到当前轴 
   plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 绘图中文 
   plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 绘图负号 
   x = np.linspace(-np.pi*2, np.pi*2, 200) 
 
   y = np.sin(x) 
   label = 'np.sin(x)' 
   plt.plot(x, y, label=label) 
   y = np.cos(x) 
   label = 'np.cos(x)' 
   plt.plot(x, y, label=label) 
   y = np.power(np.sin(x),2) 
   label = 'np.sin(x)^2' 
   plt.plot(x, y, label=label) 
   y = np.power(np.cos(x),2) 
   label = 'np.cos(x)^2' 
   plt.plot(x, y, label=label) 
   y = np.power(np.cos(x), 2)+np.power(np.sin(x),2) 
   label = 'np.sin(x)^2+np.cos(x)^2' 
   plt.plot(x, y, label=label) 
 
   # 设置图片的右边框和上边框为不显示 
   ax.spines['right'].set_color('none') 
   ax.spines['top'].set_color('none') 
 
   # 挪动x，y轴的位置，也就是图片下边框和左边框的位置 
   # data表示通过值来设置x轴的位置，将x轴绑定在y=0的位置 
   ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0)) 
   # axes表示以百分比的形式设置轴的位置，即将y轴绑定在x轴50%的位置 
   # ax.spines['left'].set_position(('axes', 0.5)) 
   ax.spines['left'].set_position(('data', 0)) 
   plt.title("sin&cos三角指数") 
   plt.legend(loc='upper right') 
   plt.show() 

# 正切函数 ：y =tan x 
# 余切函数 ：y =cot x 
def tanctnfunction(): 
   #np.tan() 
   plt.figure(figsize=(10, 8)) 
   plt.subplot(1, 2, 1) 
   ax = plt.gca()  # 通过gca:get current axis得到当前轴 
   plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 绘图中文 
   plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 绘图负号 
   x = np.append(np.linspace(-np.pi*3/2+0.01, -np.pi/2-0.01, 120),np.linspace(-np.pi/2+0.01, np.pi/2-0.01, 120)) 
   x = np.append(x,np.linspace(np.pi/2+0.01, np.pi*3/2-0.01, 120)) 
   y = np.tan(x) 
   label = 'np.tan(x)' 
   plt.plot(x, y, label=label) 
 
 
   # 设置图片的右边框和上边框为不显示 
   ax.spines['right'].set_color('none') 
   ax.spines['top'].set_color('none') 
 
   # 挪动x，y轴的位置，也就是图片下边框和左边框的位置 
   # data表示通过值来设置x轴的位置，将x轴绑定在y=0的位置 
   ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0)) 
   # axes表示以百分比的形式设置轴的位置，即将y轴绑定在x轴50%的位置 
   # ax.spines['left'].set_position(('axes', 0.5)) 
   ax.spines['left'].set_position(('data', 0)) 
   plt.title("tan三角指数") 
   plt.legend(loc='upper right') 
 
 
   plt.subplot(1, 2, 2) 
   ax = plt.gca()  # 通过gca:get current axis得到当前轴 
   plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 绘图中文 
   plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 绘图负号 
   x = np.append(np.linspace(-np.pi+ 0.01, - 0.01, 120), 
              np.linspace( 0.01, np.pi - 0.01, 120)) 
   y = 1/np.tan(x) 
   label = 'np.ctn(x)' 
   plt.plot(x, y, label=label) 
   # 设置图片的右边框和上边框为不显示 
   ax.spines['right'].set_color('none') 
   ax.spines['top'].set_color('none') 
 
   # 挪动x，y轴的位置，也就是图片下边框和左边框的位置 
   # data表示通过值来设置x轴的位置，将x轴绑定在y=0的位置 
   ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0)) 
   # axes表示以百分比的形式设置轴的位置，即将y轴绑定在x轴50%的位置 
   ax.spines['left'].set_position(('axes', 0.5)) 
   #ax.spines['left'].set_position(('data', 0)) 
   plt.title("ctan三角指数") 
   plt.legend(loc='upper right') 
   plt.show() 

# 正割函数 ：y =sec x = 1/cos(x) 
# 余割函数 ：y =csc x = 1/sin(x) 
def seccscfunction(): 
   plt.figure(figsize=(10, 5)) 
   ax = plt.gca()  # 通过gca:get current axis得到当前轴 
   plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 绘图中文 
   plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 绘图负号 
   #x = np.linspace(-np.pi*2, np.pi*2, 200) 
   x = np.append(np.linspace(-np.pi * 3 / 2 + 0.01, -np.pi - 0.01, 120), 
              np.linspace(-np.pi + 0.01, -np.pi / 2 - 0.01, 120)) 
   x = np.append(x, np.linspace(-np.pi / 2 + 0.01,  - 0.01, 120)) 
   x = np.append(x, np.linspace(0.01, np.pi  / 2 - 0.01, 120)) 
   x = np.append(x, np.linspace(np.pi / 2 + 0.01, np.pi  - 0.01, 120)) 
   x = np.append(x, np.linspace(np.pi + 0.01, np.pi * 3 / 2 - 0.01, 120)) 
   y = 1/np.sin(x) 
   label = 'np.csc(x)' 
   plt.plot(x, y, label=label) 
   y = 1/np.cos(x) 
   label = 'np.sec(x)' 
   plt.plot(x, y, label=label) 
 
   # 设置图片的右边框和上边框为不显示 
   ax.spines['right'].set_color('none') 
   ax.spines['top'].set_color('none') 
 
   # 挪动x，y轴的位置，也就是图片下边框和左边框的位置 
   # data表示通过值来设置x轴的位置，将x轴绑定在y=0的位置 
   ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0)) 
   # axes表示以百分比的形式设置轴的位置，即将y轴绑定在x轴50%的位置 
   # ax.spines['left'].set_position(('axes', 0.5)) 
   ax.spines['left'].set_position(('data', 0)) 
   plt.title("csc&sec三角指数") 
   plt.legend(loc='upper right') 
   plt.show() 

ef arcsincosfunction(): 
   plt.figure(figsize=(5, 10)) 
   ax = plt.gca()  # 通过gca:get current axis得到当前轴 
   plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 绘图中文 
   plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 绘图负号 
   x = np.linspace(-1, 1, 200) 
 
   y = np.arcsin(x) 
   label = 'np.arcsin(x)' 
   plt.plot(x, y, label=label) 
   y = np.arccos(x) 
   label = 'np.arccos(x)' 
   plt.plot(x, y, label=label) 
 
   # 设置图片的右边框和上边框为不显示 
   ax.spines['right'].set_color('none') 
   ax.spines['top'].set_color('none') 
 
   # 挪动x，y轴的位置，也就是图片下边框和左边框的位置 
   # data表示通过值来设置x轴的位置，将x轴绑定在y=0的位置 
   ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0)) 
   # axes表示以百分比的形式设置轴的位置，即将y轴绑定在x轴50%的位置 
   # ax.spines['left'].set_position(('axes', 0.5)) 
   ax.spines['left'].set_position(('data', 0)) 
   plt.title("arcsin&arccos三角指数") 
   plt.legend(loc='upper right') 
   plt.show() 

# 反正切函数 
#  正切函数y=tan x在（-π/2，π/2）上的反函数，叫做反正切函数。记作arctanx，表示一个正切值为x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。 
#  定义域R，值域（-π/2，π/2）。 
#   numpy.arctan() 
# 反余切函数 
#  余切函数y=cot x在（0，π）上的反函数，叫做反余切函数。记作arccotx，表示一个余切值为x的角，该角的范围在（0，π）区间内。 
#  定义域R，值域（0，π）。 
# 反正割函数 
#   正割函数 ：y =sec x = 1/cos(x) 
#  正割函数y=sec x在[0，π/2）U（π/2，π]上的反函数，叫做反正割函数。记作arcsecx，表示一个正割值为x的角，该角的范围在[0，π/2）U（π/2，π]区间内。 
#  定义域（-∞，-1]U[1，+∞），值域[0，π/2）U（π/2，π]。 
# 反余割函数 
#   余割函数 ：y =csc x = 1/sin(x) 
#  余割函数y=csc x在[-π/2，0）U（0，π/2]上的反函数，叫做反余割函数。记作arccscx，表示一个余割值为x的角，该角的范围在[-π/2，0）U（0，π/2]区间内。 
#  定义域（-∞，-1]U[1，+∞），值域[-π/2，0）U（0，π/2]。 
def arccscfunction(): 
   plt.figure(figsize=(10, 5)) 
   ax = plt.gca()  # 通过gca:get current axis得到当前轴 
   plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 绘图中文 
   plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 绘图负号 
   x = np.append(np.linspace(0.01, np.pi / 2 - 0.01, 120), 
              np.linspace(np.pi/2+0.01, np.pi  - 0.01, 120)) 
   y = 1/np.cos(x) 
   # 正割函数 sec(x)=1/cos(x) 
   # 反正割函数 颠倒x,y值即可 
   label = 'np.arcsecx(x)' 
   plt.plot(y, x, label=label) 
 
   # 设置图片的右边框和上边框为不显示 
   ax.spines['right'].set_color('none') 
   ax.spines['top'].set_color('none') 
 
   # 挪动x，y轴的位置，也就是图片下边框和左边框的位置 
   # data表示通过值来设置x轴的位置，将x轴绑定在y=0的位置 
   ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0)) 
   # axes表示以百分比的形式设置轴的位置，即将y轴绑定在x轴50%的位置 
   # ax.spines['left'].set_position(('axes', 0.5)) 
   ax.spines['left'].set_position(('data', 0)) 
   plt.title("arcsin&arccos三角指数") 
   plt.legend(loc='upper right') 
   plt.show()