应用场景-背包问题
背包问题：有一个背包，容量为4磅，现有如下物品：
- 要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
- 要求装入的物品不能重复
动态规划算法介绍
- 动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法。
- 动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
- 与分治算法不同的是，适用于动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是相互独立的。(即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解)。
- 动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解。
背包问题分析
背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选取物品放入背包是物品的价值最大。其中又分01背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)。
这里的问题属于01背包，即每个物品最多放一个，而无限背包可以转化为01背包。
思路分析
算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品，根据w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包。即对于给定的n个物品，设v[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量。再令v[i][j]表示在前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包的最大值。则有下面的结果：
- v[i][0] = v[0][j] = 0;//表示填入表第一行和第一列是0
- 当w[i]>j时：v[i][j]=v[i-1][j];//当准备加入的新增的商品的容量大于当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略。
- 当j>=w[i]时：v[i][j]=max{v[i-1][j],v[i]+v[i-1][j-w[i]]};//当准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量，装入的方式：v[i-1][j]：就是上一个单元格的装入的最大值v[i]：当前商品的价值v[i-1][j-w[i]]：装入i-1商品，到剩余空间[j-w[i]的最大值
填表的过程
代码案例
- package com.xie.algorithm;
- import java.util.Arrays;
- public class KnapsackProblem {
- public static void main(String[] args) {
- //物品的重量
- int[] w = {1, 4, 3};
- //物品的价值
- int[] val = {1500, 3000, 2000};
- //背包的容量
- int m = 4;
- //物品的个数
- int n = val.length;
- //为了记录商品放入的情况，定义一个二维数组
- int[][] path = new int[n + 1][m + 1];
- //创建二维数组
- //v[i][j]表示在前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包的最大值
- int[][] v = new int[n + 1][m + 1];
- //初始化第一行和第一列
- //将第一列设置为0
- for (int i = 0; i < v.length; i++) {
- v[i][0] = 0;
- }
- //将第一行设置为0
- for (int i = 0; i < v[0].length; i++) {
- v[0][i] = 0;
- }
- //根据前面的公式来动态规划处理
- //不处理第一行
- for (int i = 1; i < v.length; i++) {
- //不处理第一列
- for (int j = 1; j < v[0].length; j++) {
- //公式
- //因为我们的程序 i 是从1开始的，因此原来的公式中的w[i]修改成w[i-1]
- if (w[i - 1] > j) {
- v[i][j] = v[i - 1][j];
- } else {
- //因为我们的程序 i 是从1开始的
- //v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]);
- if (v[i - 1][j] > val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {
- v[i][j] = v[i - 1][j];
- } else {
- v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
- //把当前的情况记录到path
- path[i][j] = 1;
- }
- }
- }
- }
- for (int i = 0; i < v.length; i++) {
- System.out.println(Arrays.toString(v[i]));
- }
- int i = path.length - 1;
- int j = path[0].length - 1;
- while (i > 0 && j > 0) {
- if (path[i][j] == 1) {
- System.out.printf("第%d个商品放入背包\n", i);
- j -= w[i - 1];
- }
- i--;
- }
- }
- /**
- * [0, 0, 0, 0, 0]
- * [0, 1500, 1500, 1500, 1500]
- * [0, 1500, 1500, 1500, 3000]
- * [0, 1500, 1500, 2000, 3500]
- * 第3个商品放入背包
- * 第1个商品放入背包
- */
- }
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