图算法系列之计算图中最短路径

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本文转载自微信公众号「贝塔学JAVA」，作者Silently9527。转载本文请联系贝塔学JAVA公众号。

前言

在前面两篇中我们通过深度优先搜索可以从图中找出一条通过顶点v到顶点w的路径，但是深度优先搜索与顶点的输入有很大的关系，找出来的路径也不一定是最短的，通常情况下我们很多时候需要找出图中的最短路径，比如：地图功能。这里我们就需要使用到广度优先搜索算法

广度优先搜索

依然使用之前定义的寻找路径的API

public class Paths { 
    Paths(Graph graph, int s); 
     
    boolean hasPathTo(int v); //判断出从s->v是否存在路径 
     
    Iterable<Integer> pathTo(int v); //如果存在路径，返回路径 
} 

在广度优先搜索中，为了找出最短路径，我们需要按照起点的顺序来遍历所有的顶点，而不在是使用递归来实现;算法的思路：

• 使用队列来保存已经被标记过但是邻接表还未被遍历过的顶点
• 取出队列中的下一个顶点v并标记它
• 将v相邻的所有未被标记的顶点加入到队列

在该算法中，为了保存路径，我们依然需要使用一个边的数组edgeTo[]，用一颗父链树来表示根节点到所有连通顶点的最短路径。

public class BreadthFirstPaths { 
    private boolean marked[]; 
    private int[] edgeTo; 
    private int s; 
    private Queue<Integer> queue = new LinkedListQueue<>(); 
 
    public BreadthFirstPaths(Graph graph, int s) { 
        this.s = s; 
        this.marked = new boolean[graph.V()]; 
        this.edgeTo = new int[graph.V()]; 
 
        bfs(graph, s); 
    } 
 
    private void bfs(Graph graph, int s) { 
        this.marked[s] = true; 
        this.queue.enqueue(s); 
        while (!this.queue.isEmpty()) { 
            Integer v = this.queue.dequeue(); 
            for (int w : graph.adj(v)) { 
                if (!this.marked[w]) { 
                    this.marked[w] = true; 
                    this.edgeTo[w] = v; 
                    this.queue.enqueue(w); 
                } 
            } 
        } 
 
 
    } 
 
    public boolean hasPathTo(int v) { 
        return this.marked[v]; 
    } 
 
    public Iterable<Integer> pathTo(int v) { 
        if (!hasPathTo(v)) { 
            throw new IllegalStateException("s不能到达v"); 
        } 
        Stack<Integer> stack = new LinkedListStack<>(); 
        stack.push(v); 
        while (edgeTo[v] != s) { 
            stack.push(edgeTo[v]); 
            v = edgeTo[v]; 
        } 
        stack.push(s); 
        return stack; 
    } 
} 

以下图为列，来看看广度优先搜索的运行轨迹

单元测试的代码：

@Test 
public void test() { 
    Graph graph = new Graph(8); 
    graph.addEdge(0, 1); 
    graph.addEdge(0, 2); 
    graph.addEdge(0, 5); 
    graph.addEdge(1, 3); 
    graph.addEdge(2, 4); 
    graph.addEdge(4, 3); 
    graph.addEdge(5, 3); 
    graph.addEdge(6, 7); 
 
    BreadthFirstPaths paths = new BreadthFirstPaths(graph, 0); 
    System.out.println(paths.hasPathTo(5)); 
    System.out.println(paths.hasPathTo(2)); 
    System.out.println(paths.hasPathTo(6)); 
 
    paths.pathTo(5).forEach(System.out::print); 
    System.out.println(); 
    paths.pathTo(4).forEach(System.out::print); 
    System.out.println(); 
    paths.pathTo(2).forEach(System.out::print); 
    System.out.println(); 
    paths.pathTo(3).forEach(System.out::print); 
 
} 

执行的结果与我们分析的运行轨迹一致

符号图

最近几篇文章一起学习到的图算法都是以数字作为了顶点，是因为数字来实现这些算法会非常的简洁方便，但是在实际的场景中，通常都是使用的字符作为顶点而非数字，比如：地图上的位置、电影与演员的关系。

为了满足实际的场景，我们只需要在数字与字符串的关系做一个映射，此时我们会想到之前文章实现的map(通过二叉树实现map、红黑树实现map、哈希表实现map等等，有兴趣的同学可以去翻翻)，使用Map来维护字符串和数字的映射关系。

public interface SymbolGraph { 
    boolean contains(String key); //判断是否存在顶点 
 
    int index(String key); //通过名称返回对应的数字顶点 
 
    String name(int v); //通过数字顶点返回对应的字符名称 
 
    Graph graph(); 
} 

实现的思路：

• 使用Map来保存字符串-数字的映射，key为字符串，value为数字
• 使用一个数组来反向映射数字-字符串，数组的下标对应数字顶点，值对应字符串名称
• 假设构造图的顶点与边是通过字符串来表示的，如：a,b,c,d\nb,a,h,l,p\ng,s,z 使用\n分隔的每段第一个字符串表示顶点v，后面的表示与顶点v相连的相邻顶点;

实际的过程可以根据具体情况来确定，不一定非得这种字符串，可以来源于数据库，也可以来源于网路的请求。

代码实现如下：

public class SymbolGraph { 
    private Map<String, Integer> map = new RedBlack23RedBlackTreeMap<>(); 
    private String[] keys; 
    private Graph graph; 
 
    public SymbolGraph(String text) { 
        Arrays.stream(text.split("\n")).forEach(line -> { 
            String[] split = line.split(","); 
            for (int i = 0; i < split.length; i++) { 
                map.put(split[i], i); 
            } 
        }); 
 
        this.keys = new String[map.size()]; 
        map.keys().forEach(key -> { 
            this.keys[this.map.get(key)] = key; 
        }); 
 
        this.graph = new Graph(this.keys.length); 
        Arrays.stream(text.split("\n")).forEach(line -> { 
            String[] split = line.split(","); 
            int v = this.map.get(split[0]); 
            for (int i = 1; i < split.length; i++) { 
                this.graph.addEdge(v, this.map.get(split[i])); 
            } 
        }); 
         
    } 
 
    public boolean contains(String key) { 
        return map.contains(key); 
    } 
 
    public int index(String key) { 
        return map.get(key); 
    } 
 
    public String name(int index) { 
        return this.keys[index]; 
    } 
 
    public Graph graph() { 
        return this.graph; 
    } 
 
    public static void main(String[] args) { 
        System.out.println(Arrays.toString("323\n2323".split("\n"))); 
    } 
} 

文中所有源码已放入到了github仓库:https://github.com/silently9527/JavaCore