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什么是并查集
并查集这种数据结构，可能出现的频率不是那么高，但是还会经常性的见到，其理解学习起来非常容易，通过本文，一定能够轻轻松松搞定并查集!
对于一种数据结构，肯定是有自己的应用场景和特性，那么并查集是处理什么问题的呢?
并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合(disjoint sets)的合并及查询问题,常常在使用中以森林来表示。在一些有N个元素的集合应用问题中，我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的集合，然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并，其间要反复查找一个元素在哪个集合中。其特点是看似并不复杂，但数据量极大，若用正常的数据结构来描述的话，往往在空间上过大，计算机无法承受;即使在空间上勉强通过，运行的时间复杂度也极高，根本就不可能在比赛规定的运行时间(1～3秒)内计算出试题需要的结果，只能用并查集来描述。
你可能还有点迷糊并查集能怎么玩，看完这篇然后回头看这两个问题(分别杭电1232和杭电1272)。
问题1：
某省调查城镇交通状况，得到现有城镇道路统计表，表中列出了每条道路直接连通的城镇。省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个城镇间都可以实现交通(但不一定有直接的道路相连，只要互相间接通过道路可达即可)。问最少还需要建设多少条道路?
这个问题很容易，给定的关系看看需要合并多少次就知道最少的建设道路数量。
问题二：
小希希望任意两个房间有且仅有一条路径可以相通(除非走了回头路)。小希现在把她的设计图给你，让你帮忙判断她的设计图是否符合她的设计思路。比如下面的例子，前两个是符合条件的，但是最后一个却有两种方法从5到达8。
这个问题也很容易了，根据关系集合进行合如果两个元素已经属于一个集合，那就说明不满足要求啦。
并查集解析
通过上面介绍，相信你已经清楚并查集就是解决集合中一些元素的合并和查询问题，现在就带你解析这个算法。
初始化
开始时候森林中每个元素没有任何操作，它们之间是相互独立的。我们通常会使用数组来表示这个森林(数组下标对应第几个元素)，在初始化的时候数组中的各个值为-1，表示各自自己是一个集合(各自为王)，你可能会问为啥是-1而不是一个其他的数，那是因为用负数可以代表这个元素是某个集合的根，然后它的权值表示集合中元素的个数。
并 union(int a,int b)
这里合并，并没有你想象的直接合并那么简单，这里合并是合并a所在的集合和b所在的集合，但在操作层面a,b可能并不是根节点，所以也要先判断一下。
为了便于理解，这里罗列一下最初操作可能的情况，初始时候各个元素都是独立的集合，那么直接a指向b(或者b指向a)即arr[a]=b,同时为了表示这个集合有多少个，原本-1的b再次-1.即arr[b]=-2.表示以b为父根的集合节点有|-2|个。例如进行union(1,4)，union(5,7)操作之后如图所示：
正常情况的union(int a,int b)，假设我们就是a合并到b上，把b当成父集合来看。a、b都可能是叶子节点，也可能是根节点。
此时你可以先分别找到a,b的父节点fa,fb(这个根可能是它自己),然后合并fa和fb两个节点，例如上面如果union(1,5)那么其实就是等价union(4,7)。
为什么不直接操作a,b而是要找到他们的父亲进行操作?
原因1是因为a,b可能是叶子节点，其值是正的表示已经有父亲了，如果直接操作会使其与原来的集合分离开。另外集合中的数量(负数)也不能有效叠加。
原因2是因为合并的时候如果合并如果a,b是非根节点操作，可能会造成这个树的深度太大，不利于集合a中的查询效率。
查 search(int a)
查询，其实就是查询这个节点的根节点是啥(也称代表元)，这个过程也有点类似递归的过程，叶子节点值如果为正，那么就继续查找这个值得位置的结果，一直到值为负数的时候说明找到根节点，可以直接返回。
不过在查询的过程中可以顺便路径优化，这样在频繁查询能够大大降低时间复杂度。
优化
你以为上面的就是并查集的全部?不不不，并查集还有不少需要掌握嘞，估计细心的人可能也会发现一些问题。
你可能会有疑问：
如何查看a，b是否在同一个集合?
查看是否在一个集合，只需要查看节点根祖先的结果是否相同即可。因为只有根的数值是负的，而其他都是正数表示指向的元素。所以只需要一直寻找直到不为正数进行比较即可!
a,b合并，究竟是a的祖先合并在b的祖先上，还是b的祖先合并在a上?
这里会遇到两种情况，这个选择也是非常重要的。你要弄明白一点：树的高度+1的化那么整个元素查询的效率都会降低!
所以我们通常是：小树指向大树(或者低树指向高树)，这个使得查询效率能够增加!
当然，在高度和数量的选择上，还需要你自己选择和考虑。
查找途中能不能路径压缩
每次查询，自下向上。当我们调用递归的时候，可以顺便压缩路径(将当前数组的值等于递归返回的根节点的值)，我们查找一个元素只需要直接找到它的祖先，所以当它距离祖先近那么下次查询就很快。并且压缩路径的代价并不大!
试想一下，如果一个分支的深度为1000，不压缩路径那么这个分支每个节点平均查找次数为500，压缩一次下次再查找就是1次。
学会路径压缩，你基本可以秒杀大部分并查集的题。
代码实现
并查集实现起来较为简单，直接贴代码!代码很久前写的，如果有纰漏还请指出。
- import java.util.Scanner;
- public class DisjointSet {
- static int tree[]=new int[100000];//假设有500个值
- public DisjointSet() {set(this.tree);}
- public DisjointSet(int tree[])
- {
- this.tree=tree;
- set(this.tree);
- }
- //初始化所有都是-1 有两个好处，这样他们指向-1说明是自己，
- //第二，-1代表当前森林有-（-1）个
- public void set(int a[])
- {
- int l=a.length;
- for(int i=0;i<l;i++)
- {
- a[i]=-1;
- }
- }
- public int search(int a)//返回头节点的数值
- {
- if(tree[a]>0)//说明是子节点
- {
- return tree[a]=search(tree[a]);//路径压缩
- }
- else
- return a;
- }
- public int value(int a)//返回a所在树的大小（个数）
- {
- if(tree[a]>0)
- {
- return value(tree[a]);
- }
- else
- return -tree[a];
- }
- public void union(int a,int b)//表示 a，b所在的树合并
- {
- int a1=search(a);//a根
- int b1=search(b);//b根
- if(a1==b1) {System.out.println(a+"和"+b+"已经在一棵树上");}
- else {
- if(tree[a1]<tree[b1])//这个是负数，为了简单减少计算，不在调用value函数
- {
- tree[a1]+=tree[b1];//个数相加 注意是负数相加
- tree[b1]=a1; //b树成为a的子树，直接指向a；
- }
- else
- {
- tree[b1]+=tree[a1];//个数相加 注意是负数相加
- tree[a1]=b1; //b树成为a的子树，直接指向a；
- }
- }
- }
- public static void main(String[] args)
- {
- DisjointSet d=new DisjointSet();
- d.union(1,2);
- d.union(3,4);
- d.union(5,6);
- d.union(1,6);
- d.union(22,24);
- d.union(3,26);
- d.union(36,24);
- System.out.println(d.search(6)); //头
- System.out.println(d.value(6)); //大小
- System.out.println(d.search(22)); //头
- System.out.println(d.value(22)); //大小
- }
- }
结语
并查集属于简单但是很高效率的数据结构。在集合中经常会遇到。如果不采用并查集而传统暴力效率太低，而不被采纳。
