问题背景
月黑风高的夜晚，张三开启了法外狂徒模式：他背着一个可装载重量为 W 的背包去地主家偷东西。
地主家有 N 个物品，每个物品有重量和价值两个属性，其中第 i 个物品的重量为 wt[i]，价值为 val[i]。
问张三现在用这个背包装物品，最多能装的价值是多少?
举例：
- N = 3 //地主家有三样东西
- wt = [2,1,3] //每样东西的重量
- val = [4,2,3] //每样东西的价值
- W = 4 //背包可装载重量
算法应该返回 6.
因为选择第一件物品和第二件物品，在重量没有超出背包容量下，所选价值最大。
如果每种物品只能选 0 个或 1 个(即要么将此物品装进包里要么不装)，则此问题称为 0-1 背包问题;如果不限每种物品的数量，则称为无界(或完全)背包问题。
今天这篇文章我们只关注 0-1 背包问题，下一篇文章再聊完全背包问题。
那我们是如何选择要装入的物品的?
思路初探
首先，质量很大价值很小的物品我们先不考虑(放着地主家金银财宝珍珠首饰不偷，背出来一包煤...，那也就基本告别盗窃行业了...)
然后呢?再考虑质量大价值也大的?还是质量较小价值也稍小的?
我们自然而然想到：装价值/质量 比值最大的，因为这至少能说明，此物品的“价质比”最大(也即贪心算法，每次选择当前最优)
那么这样装能保证最后装入背包里的价值最优吗?
我们先来看一个例子：
假设有 5 个物品，N = 5，每种物品的质量与价值如下：
- W : 20, 30, 40, 50, 60
- V : 20, 30, 44, 55, 60
- V/W: 1, 1, 1.1, 1.1, 1
背包容量为 100
如果按上述策略：优先选“价质比”最大的：即第三个和第四个物品
- 此时质量：40+50=90
- 价值：44+55 =99
但我们知道，此题更优的选择策略是：选第一个，第二个和第四个
- 此时质量：20+30+50=100
- 价值：20+30+55=105
所以，我们的“价质比”这种贪心策略显然不是最优策略。
读过一文学懂动态规划这篇文章的读者会发现，之前文章中兑换零钱例子我们最开始也是采取贪心策略，但最后发现贪心不是最优解，由此我们引出了动态规划。
没错，今天这题也正是动态规划又一经典的应用。
解题思路
根据动之前的文章我们知道，动态规划的核心即：状态与状态转移方程。
那么此题的状态是什么呢?
状态
何为状态?
说白了，状态就是已知条件。
重读题意我们发现：此题的已知条件只有两个：
- 背包容量
- 可选的物品
题目要求的是在满足背包容量前提下，可装入的最大价值。
那么我们可以根据上述状态定义出 dp 数组，即：
dp[i][w] 表示：对于前i个物品，当前背包的容量为w，这种情况下可以装的最大价值是dp[i][w]
我们自然而然的考虑到如下特殊情况：
当 i = 0 或 w = 0，那么：
dp[0][...] = dp[...][0] = 0
解释：
对前 0 个物品而言，无论背包容量等于多少，装入的价值为 0;
当背包容量为 0 时，无论装入前多少个物品(因为一个都装不进去)，背包里的价值依旧为 0。
根据这个定义，我们求的最终答案就是dp[N][W]
我们现在找出了状态，并找到了 base case，那么状态之间该如何转移呢(状态转移方程)?
状态转移方程
dp[i][w] 表示：对于前i个物品，当前背包的容量为w，这种情况下可以装的最大价值是dp[i][w]。
思考：对于当前第 i 个物品：
- 如果没有把第 i 个物品装入包里(第 i 个物品质量大于当前背包容量)：那么很显然，最大价值dp[i][w]应该等于dp[i - 1][w]，没有装进去嘛，故当前背包总价值就等于之前的结果，即第i - 1 个物品之前的总价值 。
- 如果把第 i 个物品装入了包里，那么 dp[i][w]应该等于什么呢?
它应该等于下面两者里的较大值：
- dp[i - 1][w] //前i - 1个物品，背包所装的最大价值
- dp[i - 1]w - wt[i]] + val [i] //当前第 i 个物品我装里边了，那么此时背包装入的总价值即为：当前第 i 个物品的价值 val [i] + 第 i 个物品之前，背包容量为w - wt[i](w 减去当前第 i 个物品的质量)dp[i - 1]w - wt[i]] 时的价值
上述两个如果可以写成以下代码：
- //如果第i个物品质量大于当前背包容量
- if (wt[i] > W) {
- dp[i][W] = dp[i-1][W]; //继承上一个结果
- } else {
- //在“上一个结果价值”和“把当前第i个物品装入背包里所得到价值”二者里选价值较大的
- dp[i][W] = Math.max(dp[i-1][W],dp[i-1][W-wt[i]] + val[i])
- }
例子
我们接来下再用一个具体的例子，来理解状态和状态转移方程。
现在我们有 4 个物品，物品对应的价值与质量分别如上图左侧所示：
- 6, 4
- 2，5
- 1, 4
- 8, 1
Step 1
我们首先初始化一行和一列 0，分别对应dp[0][w] 和 dp[i][0]。
那么第一个问号处应该填什么呢?
我们根据上述表述的状态转移关系来判断：
当前第一个物品的重量 4 > 背包容量，故装不进去，所以继承上一个结果。
上一个结果是什么呢?
就是第 i - 1个物品，也就是第 0 个，和W = 1时的价值：
- if (wt[i] > W) {
- dp[i][W] = dp[i-1][W]; //继承上一个结果
- }
此时方框里的值为 0，故第一个问号这里应该填 0
Step 2
现在我们走到了当背包容量 W = 2 的时候，此时当前 i (依旧第一个物品)能否装进背包里呢?
我们发现 4 > 2，此时还是装不进去，那么同样继承上一个结果。
上一个结果是 i 不变(依旧是第 **0 **个物品),W = 2，所以结果依旧为 0。
Step 3
现在来到 W = 3，发现依旧装不进去，所以填 0。
Step 4
下一步到 W = 4 这里了，
此时物品重量 4 = 4(背包容量)，可以装里，那么按照之前状态转移关系应该是：
- else {
- //在“上一个结果价值”和“把当前第i个物品装入背包里所得到价值”二者里选价值较大的
- dp[i][W] = Math.max(dp[i-1][W],dp[i-1][W-wt[i]] + val[i])
- }
Option A:
- 上一个结果 : dp[i - 1][w]，即dp[0][4] = 0
Option B:
- 把当前第 i 个物品装入背包里所得到价值：dp[i - 1]W - wt[i]] + val [i]
此时第一个物品的重量为 4，背包容量为 4,
故要想装入重量为 4 的此物品，那么背包先前的容量必须为当前背包容量 - 当前物品容量：4 - 4 = 0。
我们随即找到在没装入此物品(重量为 4，价值为 6)之前的dp[i -1]W - wt[i]] = dp[0][0] = 0
那么dp[i -1]W - wt[i]] + val [i] = 0 + 6 = 6
6 和 0 选择一个最大值，所以这里问号处应填入6
Step 5
下一步我们来到 W = 5 这里，此时依旧是第一个物品，质量 4 < 5(背包容量)，我们可以装里边。
然后我们在
Option A:
- 上一个结果 ：dp[0][5] = 0
Option B:
- 把当前第 i 个物品装入背包里所得到价值：dp[i -1]W - wt[i]] + val [i]
此时第一个物品的重量为 4，背包容量为 5
故要想装入重量为 4 的此物品，那么背包先前的容量必须为：当前背包容量 - 当前物品容量：5 - 4 = 1 ，
我们随即找到在没装入此物品(重量为 4，价值为 6)之前的dp[i - 1]W - wt[i]] = dp[0][1] = 0
那么dp[i -1]W - wt[i]] + val [i] = 0 + 6 = 6
选择一个最大值，即 6，所以此处应该填入 6
我们根据以上状态转系关系，依次可以填出空格其它值，最后我们得到整个 dp 数组：
| V | W | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 6 | 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 6 | 6 | 6 |
| 2 | 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 6 | 6 | 6 |
| 1 | 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 6 | 6 | 6 |
| 8 | 1 | 0 | 8 | 8 | 8 | 8 | 14 | 14 |
最后的 dp[4][6]：考虑前四个物品，背包容量为 6 的情况下，可装入的最大价值，即为所求。
(注意：我们在这里求的是 0-1 背包问题，即某一个物品只能选择 0 个或 1 个，不能多选!)
代码
根据以上思路，我们很容易写出代码：
两层 for 循环
外层循环 i 遍历物品(即前几个物品)：
- for(int i = 1;i <=N;i++){
- ...
- }
内层循环 j 遍历 1~W(背包容量)之间的整数值：
然后写入状态转移方程
- for(int j = 0;j <= W;j++){
- //外层循环i,如果第i个物品质量大于当前背包容量
- if (wt[i] > W) {
- dp[i][W] = dp[i-1][W]; //继承上一个结果
- } else {
- //在“上一个结果价值”和“把当前第i个物品装入背包里所得到价值”二者里选价值较大的
- dp[i][W] = Math.max(dp[i-1][W],dp[i-1][W-wt[i]] + val[i])
- }
- }
由此我们给出完整代码：
- class solution{
- public int knapsackProblem(int[] wt,int[] val,int size){
- //定义dp数组
- int[][] dp = new int[wt.length][size];
- //对于装入前0个物品而言，dp数组储存的总价值初始化为0
- for(int i = 0;i < size;i++){
- int[0][i] = 0;
- }
- //对于背包容量W=0时，装入背包的总价值初始化为0
- for(int j = 0;j < size;j++){
- int[j][0] = 0;
- }
- //外层循环遍历物品
- for(int i = 1;i <= N;i++){
- //内层循环遍历1~W(背包容量)
- for(int j = 0;j <= W;j++){
- //外层循环i,如果第i个物品质量大于当前背包容量
- if (wt[i] > W) {
- dp[i][W] = dp[i-1][W]; //继承上一个结果
- } else {
- //在“上一个结果价值”和“把当前第i个物品装入背包里所得到价值”二者里选价值较大的
- dp[i][W] = Math.max(dp[i-1][W],dp[i-1][W-wt[i]] + val[i])
- }
- }
- }
- }
- }
只要我们定义好了状态(dp 数组的定义)，理清了状态之间是如何转移的，最后的代码水到渠成。
本文所说的这个 0-1 背包问题，Leetcode 上并没有这个原题，所以对于背包问题，最重要的是它的变种。
背包问题是一大类问题的统称，很大一部分动态规划的题深层剖析都可以转换为背包问题。
所以还需要理解体会背包问题的核心思想，再将此种思想运用到其它一类背包问题的问题上。
那么背包问题还有哪些变化呢?我们下期见～
