前言
大家好，我是bigsai!最近，大数加减频频登上笔试的舞台，小伙伴们在群里也分享自己遇到面试官碰到大数运算的题目，想着这么重要而简单的知识点我还没写过，那得好好和大家一起总结一下。
群内情况
各位有过分类刷题的小伙伴，可能看到很多人分类 字符串、贪心、动态规划、bfs、dfs、大数、数论等，初听大数，你可能会差异：大数是个啥?听起来怪高大上的。
大数，其实就是很大很大数字(可能远超32、64位，基础类型无法表示)的加减法，在Java中我们可以使用一个大数类(BigInteger等)很容易解决大数的各种运算，但如果遇到面试官他肯定会让你手写的。
这个数字一般用字符串、链表等形式表示、返回，大数运算的核心就是：模拟，模拟我们日常用纸笔算数字的加减乘除流程，然后再根据计算机、编程语言等特性适当存储计算即可，不过，大数除法运算稍微特殊一点，和我们直接模拟的思维方式稍有不同，它就是转换了一下成特殊的加减法运算，后面会细谈。
大数加法
大数加法是最简单的，简单模拟即可。首先，我们想一下两个数加法的流程：从右向左计算求和、进位，一直到最后。
在编程语言中同样也是模拟从右向左逐位相加的过程，不过在具体实现上需要注意一些细节。
1、枚举字符串将其转换成char[]提高效率
2、从右往左进行计算，可以将结果放到一个数组中最后组成字符串，也可以使用StringBuider拼接，拼接的时候最后要逆置一下顺序。
3、余数每次叠加过需要清零，两数相加如果大于等于10即有余数，添加到结果中该位置的数也应该是该数%10的结果。
4、计算完最后还要看看余数是否为1，如果为1需要将其添加到结果，例如 "991"+"11"算三个位置为002但还有一个余数需要添加，所以应该是1002。
一个加法流程
当然在具体实现上方法较多，你可以首先就将字符串逆置然后从前往后就可以计算了。当然我这里实现的是字符串从后向前各个位对应计算，然后将结果顺序添加到StringBuilder上。
这题在力扣【415两数相加】可以检验自己代码，实现代码为：
- public String addStrings(String num1, String num2) {
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- int len1=num1.length()-1,len2=num2.length()-1;
- char ch1[]=num1.toCharArray();
- char ch2[]=num2.toCharArray();
- StringBuilder sb=new StringBuilder();
- int remainder =0;//计算余数
- while (len1>=0||len2>=0)
- {
- int n1=len1>=0?(ch1[len1--]-'0'):0;
- int n2=len2>=0?(ch2[len2--]-'0'):0;
- int num=n1+n2+remainder;//求和对应数字
- remainder=num/10;//是否进位
- sb.append(num%10);// 添加到结果字符串中
- }
- if(remainder>0)//是否还需要进位
- {
- sb.append(remainder);
- }
- //反装即为结果
- return sb.reverse().toString();
- }
大数减法
加法对应的就是减法，有了上面大数加法的实现思路，那么我想你在大数减法也应该有点想法，但是减法和加法不同的是减法有位置的区别，加法需要进位而减法需要借位。并且大整正数减法可能产生正负也不一定。
两个正数，如果大数减去小数，那么一切正常，结果是一个正数;但如果小数减去大数，那么结果将是一个负数，并且结果处理起来比较麻烦。所以在这里全部转成大-小处理(大-小不存在不能借位的情况)。
减法转成大-小
1、执行计算前首先比较减数(num1)和被减数(num2)的大小，如果num1>num2,那么就模拟num1-num2的过程，如果num1
2、在比较两个数字大小的时候，因为是字符形式，首先比较两个字符串的长度，长的那个更大短的那个更小，如果两个字符串等大，那么就可以通过字典序从前往后进行比较(Java可直接使用compareTo方法)。
3、和加法不同的是，减法前面可能产生若干前缀0，这些0是需要你去掉的，例如"1100"-"1000"计算得到的结果为"0100",你就要把前面的0去掉返回"100"。
4、具体实现的时候和加法相似，如果使用StringBuilder存储，需要逆置顺序，如果是个负数，前面还要加上'-'.
5、每个位置正常进行减法运算，如果值小于0，那么就需要向上借位(+10),那么处理上一位进行减法时候还要将借位的处理一下。
一个减法大概流程
这题在力扣上没有原题，但是可以在小米OJ【大数相减】上验证自己代码的正确性，具体实现的代码为：
- public static boolean compare(String num1,String num2)
- {
- if(num1.length()<num2.length())
- return false;
- else if(num1.length()>num2.length())
- return true;
- else
- return num1.compareTo(num2)>0;
- }
- public static String subtractString(String num1,String num2) {
- char sign='+';//正负号
- //让num1>num2 如果num1<num2 那么结果就是—(num2-num1)
- //可以先将num1和num2交换和前面情况统一
- if(!compare(num1,num2))
- {
- sign='-';
- String team = num2;
- num2 = num1;
- num1 = team;
- }
- int len1=num1.length()-1;
- int len2=num2.length()-1;
- char ch1[] = num1.toCharArray();
- char ch2[] = num2.toCharArray();
- StringBuilder sb=new StringBuilder();
- int borrow=0;//借位
- while (len1>=0||len2>=0)
- {
- int n1=len1>=0?(ch1[len1--]-'0'):0;
- int n2=len2>=0?(ch2[len2--]-'0'):0;
- int num=n1-n2-borrow;
- borrow=0;
- if(num<0)//需要向前借位
- {
- borrow=1;
- num+=10;
- }
- sb.append(num);
- }
- sb=sb.reverse();//需要先翻转
- int index = 0;//去掉前面没用的’0‘
- while (index<sb.length()&&sb.charAt(index) == '0')
- {
- index++;
- }
- //如果两个数相同 直接返回"0"
- if(index==sb.length())
- return "0";
- if(sign=='+')//如果正数
- return sb.substring(index);
- else return sign+sb.substring(index);//负数需要返回
- }
大数乘法
大数乘法乍一想可能比较复杂，因为乘法比起加法可能进位不光是1，还有两个数各种位置都需要相乘计算，这时候就需要我们化繁为简了。
多*多考虑起来可能有些麻烦，但是如果多*一考虑起来呢?如果是多位乘以一位数，那么就拿一位的分别乘以多位数的个位、十位、百位，在计算的同时考虑一下进位的情况。
但是也可以先直接用int类型数组存储各位的乘积然后从右向左进行进位，如下图所示。
先计算后进位
而多*多 也是这个道理，将不同位乘积先叠加到对应位置上，然后从右向左进位，一直到不需要进位为止。
一个乘法流程
你可能会疑问，如果两个数组的长度分别为a和b这个数组到底该开多大呢?
- a+b大小就够了，怎么分析呢?其中一个a不变。另一个b变成最小b+1数字即十的倍数，那么这样在相乘的时候也不过是a+b长度，所以这里a+b长度就够了。
这题有力扣对应题可以去试试【43字符串相乘】，具体代码为：
- public String multiply(String num1, String num2) {
- if("0".equals(num1)||"0".equals(num2))return "0";
- char a[]=num1.toCharArray();
- char b[]=num2.toCharArray();
- int value[]=new int[a.length+b.length];
- for(int i=a.length-1;i>=0;i--)
- {
- for(int j=b.length-1;j>=0;j--)
- {
- int index=a.length-1-i+b.length-1-j;
- value[index]+=(a[i]-'0')*(b[j]-'0');
- }
- }
- for(int i=0;i<value.length-1;i++)
- {
- value[i+1]+=value[i]/10;
- value[i]=value[i]%10;
- }
- int index=value.length-1;
- while(value[index]==0)
- {index--;}
- StringBuilder sBuilder=new StringBuilder();
- while (index>=0) {
- sBuilder.append(value[index--]);
- }
- return sBuilder.toString();
- }
大数除法
大数加减乘都搞定了，通过模拟来实现，但是大数除法也通过模拟来实现?
并不是，对于大数a/b，一般最多要求求到其整数解或者余数，即a/b=c……d(a,b,c,d均为整);也就是a里面有c个b，并且还剩下d。核心是先求c是多少，对于程序来说，可以通过枚举啊，将除法变成减法，从a中不断减d，一直到不能减为止。
除法转成减法运算
但是有个问题，如果被除数a很大很大，可能有居多个b，那么这样时间复杂度太高了，不可能执行那么多次，那么需要怎么样去优化这个方法呢?
那就要加速寻找次数，减少这个减法的次数了，减法次数减小的一个最好方案就是能不能扩大除数b。如果b后面加个'0'，那么算出来的结果就乘以10，减法的次数变成原来十分之一。根据这个思想我们可以一直每次找到b的最大10的倍数(小于a)计算减的次数再换算成减b的总词数，将结果要以字符串方式保留，后面一直迭代到最后为止,这虽然是一道除法运算的题，但是也蕴含减法和加法(次数叠加到结果中)。
计算思想
当然，也有一些人使用二分法来压缩寻找可以被减的次数也是可以的(加法可以迭代数字实现二分倍数)，具体实现的话也不是很困难，但是代码量可能比较多所以一般的面试笔试不会让你现场写的，所以好好掌握前面的减法、减法、乘法的代码即可。
当然，如果你依然很想看大数除法部分的代码，可以百度搜一下或者在文末评论催更一下，如果有感兴趣的可以后面把代码补充上。
结语
到这里，大数的加减乘除基本都讲解完啦，不知道你有没有收获，因为这里的大数都是用字符串的方式存储和处理，遇到的最多，但是也可能遇到一些链表、数组等其他形式存储的需要处理，但是整体的思想都是一样的。
