什么是进制
进制也就是进位计数制，是人为定义的带进位的计数方法。对于任何一种进制---N进制，就表示每一位置上的数运算时都是逢N进一位。
数数相信大家都会了，比如0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13...，在数数时某一位数量满10了就向前进位，这种逢十进一的进位制，就叫十进制。
不过在日常生活中，并不止这一种进位制，比如1小时有60分钟，1分钟有60秒，满60进一，这就是六十进制。
而在计算机中常用的进制除了十进制，还有二进制、八进制、十六进制
二进制
组成：0 1
规则：逢二进一
表示方式：二进制数1000010可写成(1000010)2或写成1000010B
八进制
组成：0 1 2 3 4 5 6 7
规则：逢八进一
表示方式：八进制数520可写成(520)8或写成520O
十六进制
组成：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
规则：逢十六进一
表示方式：十六进制的520可以写成(520)16或写成520H
为什么在计算机中，有这么多种进制表示方式?
- 方便：二进制数中只有两个数码0和1，可用具有两个不同稳定状态的元器件来表示一位数码。
- 简单：二进制数运算简单，大大简化了计算中运算部件的结构，0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10。
- 真假：二进制天然兼容逻辑运算。
- 缺点：二进制计数在日常使用上有个不便之处，就是位数往往很长，读写不便，如：把十进制的100000D写成二进制就是11000011010100000B，所以计算机领域我们实际采用的是十六进制。二进制数转换为十六进制数时，长度缩减为原先的约四分之一，把十进制的100000写成八进制就是303240。十六进制的一个数位可代表二进制的四个数位。这样，十进制的100000写成十六进制就是186A0。
存储单位
我们平常使用的程序，如：Windows操作系统、打字软件、游戏软件等。一般安装在硬盘等外存上，但仅此是不能使用其功能，必须把它们调入内存中运行，才能真正使用其功能。
因为内存的读写速度相对于外存来说非常快，但是内存是暂时存储程序以及数据的地方。当我们使用WPS处理文稿时，当你在键盘上敲入字符时，它被存入内存中。当你选择存盘时，内存中的数据才会被存入硬(磁)盘。
内存是由无数个晶体管组成的(可以理解为灯泡)，一个晶体管作为一比特(bit)的存储器。每个晶体管可以存储一个二进制0或1，比特通常也叫做位。
位(bit)： 计算机存储的最小单位
字节(byte): 数据表示的最小单位
- 一个字节通常8位长 1byte = 8 bit
千字节(KB)：
- 1KB = 1024byte
- 为什么是1024，而不是1000呢?二的十次方刚好是1024，就这么表示啦~
字节以上的转换单位都是1024，只有一个字节等于八个位是不一样的...
思考：为什么硬盘标注的容量与实际的容量不一样?
买的256G硬盘实际上只有238.4G，咱们一起来换算一下：
硬盘厂商十进制计算：256G = 256,000MB = 256,000,000KB = 256,000,000,000Byte 以1000为单位换算操作系统二进制计算: 256G = 262,144MB = 268,435,456KB = 274,877,906,944Byte 以1024为单位换算那么256G实际容量：256,000,000,
000Byte/1024MB/1024MB/1024MB = 238.4G
所以，买256G硬盘实际上只有238.4G，而且容量越大差距也就越大了。
进制转换
十进制转其他进制：短除法
- 以十进制数520为例，分别转换为二进制、八进制和十六进制，转换过程如下：
其他进制转十进制：位权相加
- 就以上面的520D的二进制、八进制和十六进制为例
- 首先，需要对其他进制从右往左依次开始编号，0 1 2 3 4 5 ...
- 然后，把每一位的数通过这个公式【数值 * 基数^编号】计算，然后把结果相加，即得到转换结果
二进制10 0000 1000 转十进制
- 98 7654 3210 编号
- 10 0000 1000 B
- 1*2^9 + 0 + 1*2^3 = 512 + 0 + 8 = 520 D
八进制1010 转十进制
- 3210 编号
- 1010 O
- 1*8^3 + 0 +1*8^0 = 520 + 8 =520 D
十六进制208 转十进制
- 210 编号
- 208 H
- 2*16^2 + 0 + 8*16^0 = 2*256 + 8 = 520 H
八进制、十六进制与二进制相互转换：拆位
八进制与二进制
一个八进制数可以拆分为3个二进制数，3个二进制数可以合成一个八进制数
- //二进制转八进制
- 001 000 001 000 B
- 1 0 1 0 O
- //八进制转二进制
- 1 3 1 4 5 2 0 O
- 001 011 001 100 101 010 000 B
十六进制与二进制
一个八进制数可以拆分为4个二进制数，4个二进制数可以合成一个八进制数
- //二进制转十六进制
- 0010 0000 1000 B
- 2 0 8 H
- //十六进制转二进制
- 1 3 1 4 5 2 0 H
- 0001 0011 0001 0100 0101 0010 0000 B
为什么可以这样拆位呢?
三位二进制数表示的范围是[0 - 8) -> 2^3 对于八进制来说刚刚好
四位二进制数表示的范围是[0 - 16) -> 2^4 对于十六进制来说刚刚好
整数的存储方式
一，机器数和机器数的真值
1，机器数
一个数在计算机中的二进制表示形式，叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用机器数的最高位存放符号，正数为0，负数为1。
比如，十进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是0000 0011，如果是 -3 ，就是 100 00011 。
那么，这里的 0000 0011 和 1000 0011 就是机器数。
2，机器数的真值
因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。
例如上面的有符号数 1000 0011，其最高位1代表负，其真正数值是 -3，而不是形式值131(1000 0011转换成十进制等于131)。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。
例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1
二，原码, 反码, 补码
让我们先了解原码、反码和补码的概念。对于一个数，计算机要使用一定的编码方式进行存储，原码、反码、补码是机器存储一个具体数字的编码方式。
1，原码
原码就是机器数，即用第一位表示符号，其余位表示值。比如：如果是8位二进制：
[+1]原= 0000 0001
[-1]原= 1000 0001
第一位是符号位，因为第一位是符号位，所以8位二进制数的取值范围就是：(即第一位不表示值，只表示正负。)
[1111 1111 , 0111 1111] 即 [-127 , 127]
原码是人脑最容易理解和计算的表示方式。
2，反码
正数的反码是其本身;
负数的反码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各个位取反。
[+1] = [0000 0001]原 = [0000 0001]反
[-1] = [1000 0001]原 = [1111 1110]反
可见如果一个反码表示的是负数，人脑无法直观地看出来它的数值。通常要将其转换成原码再计算。
3，补码
正数的补码就是其本身;
负数的补码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各位取反，最后+1。(也即在反码的基础上+1)
[+1] = [0000 0001]原 = [0000 0001]反 = [0000 0001]补
[-1] = [1000 0001]原 = [1111 1110]反 = [1111 1111]补
对于负数，补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的。通常也需要转换成原码再计算其数值。
三，为何要使用原码、反码和补码
人脑可以知道第一位是符号位，在计算的时候我们会根据符号位，选择对真值区域的加减。(真值的概念在本文最开头) 但是对于计算机，加减乘数已经是最基础的运算，要设计得尽量简单，计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂!
于是人们想出了将符号位也参与运算的方法。我们知道，根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数，即：1-1 = 1 + (-1) = 0， 所以机器可以只有加法而没有减法，这样计算机运算的设计就更简单了。
我们以计算十进制表达式：1 - 1 = 0为例
首先来看原码：
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原+ [1000 0001]原= [1000 0010]原= -2
如果用原码表示，让符号位也参与计算，显然对于减法来说，结果是不正确的。这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数。
为了解决原码做减法的问题， 出现了反码：
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原+ [1000 0001]原= [0000 0001]反+ [1111 1110]反= [1111 1111]反= [1000 0000]原= -0
发现用反码计算减法，结果的真值部分是正确的。而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上，虽然人们理解上+0和-0是一样的，但是0带符号是没有任何意义的，而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0。
于是补码的出现，解决了0的符号问题以及0的两个编码问题：
1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原+ [1000 0001]原= [0000 0001]补+ [1111 1111]补= [1 0000 0000]补=[0000 0000]补=[0000 0000]原注意：进位1不在计算机字长里。
这样0用[0000 0000]表示，而以前出现问题的-0则不存在了。而且可以用[1000 0000]表示-128：-128的由来如下：
(-1) + (-127) = [1000 0001]原+ [1111 1111]原= [1111 1111]补+ [1000 0001]补= [1000 0000]补
-1-127的结果应该是-128，在用补码运算的结果中，[1000 0000]补就是-128，但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128，所以-128并没有原码和反码表示。(对-128的补码表示[1000 0000]补，算出来的原码是[0000 0000]元，这是不正确的)
使用补码，不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题，而且还能够多表示一个最低数。这就是为什么8位二进制，使用原码或反码表示的范围为[-127, +127]，而使用补码表示的范围为[-128, 127]。
整数的存储是将十进制为的整数转换成其相应的补码后存储。
小数的存储方式
现如今的计算机中浮点数的存储都是遵循IEEE754/854标准，以二进制的科学计数法存放到内存中。
对于浮点数在计算机中有两种存储的精度，即单精度和双精度，单精度是32位，双精度是64位。
- 符号S：0为正，1为负
- 尾数M：小数点后面的部分
- 指数E：即阶码，指明了小数点在数据中的位置
- 为了让指数表示正、负引入了偏差码，float的为127,double的为1024
十进制小数转二进制小数
- 先把整数部分转化为二进制
- 再把小数部分转化为二进制(用2乘以小数部分，每次将结果整数取出，然后用剩余小数部分继续乘以2，直到小数部分为零，或者达到要求的精度为止)
以float f = 5.25为例
整数部分：5 -> 101
小数部分：0.25 -> 0.01
- 0.25 * 2 = 0.5 --- 0
- 0.5 * 2 = 1.0 --- 1
- 从上往下取值：0.01
最后结果：101.01 = 1.0101 * 2^2
可见指数实际值为2，加上偏差码127，2 + 127 = 129，129的二进制为10000001B，因此不难得到，8.25在内存中的存储情况为:
如果把这个值作为整型使用，将是一个很大的数字，是1084751872
把这个内存里面的值转为十进制小数就很简单了：
- //1,首先判断S表示的正负 +
- //2，计算出E实际表示的指数 1000 0001 = 129 129 - 127 = 2
- //3，根据M写出二进制小数形式 1.0101 * 2^2 = 101.01
- //4，对二进制小数以小数点为界限开始编号
- 210 -1-2 编号
- 101. 0 1 B
- 1*2^2 + 0 + 1*2^0 + 0*2^(-1) + 1*2^(-2) = 4 + 1 + 0.25 =5.25
注意：
- 在二进制，第一个有效数字必定是“1”，因此这个“1”并不会存储。
- 浮点数不能精确表示其范围内的所有数。
- 可精确表示的数不是均匀分布的，越靠近0越稠密。
