前面有人让我讲解一下RSA算法，今天我就用我所学的知识讲解一下，首先我们先了解一下RSA
RSA是一种非对称加密算法，1977年由罗纳德·李维斯特(Ron Rivest)、阿迪·萨莫尔(Adi Shamir)和伦纳德·阿德曼(Leonard Adleman)一起提出的，因此以三人姓氏的首字母命名了该非对称加密算法，RSA算法。
在了解非对称性加密的时候我们需要了解什么叫对称性加密。我们就那徐克导演拍的电影《智取威虎山》，其中的一段对话
- 土匪：天王盖地虎!
- 杨子荣：宝塔镇河妖!
- 土匪：野鸡闷头钻，哪能上天王山!
- 杨子荣：地上有的是米，喂呀，有根底!
- 土匪：拜见过阿妈啦?
- 杨子荣：他房上没瓦，非否非，否非否!
通过他们的对话我们知道 土匪在试探杨子荣的身份。当土匪说，天王盖地虎，我就必须说 宝塔镇河妖!也就是双方都知道 这段话是什么意思。翻译成程序员的话就是 双方都有加密的密钥。因此对称加密也可以说是秘密交易者的暗号。
不过对称加密有一个很大的问题，密钥容易泄露。土匪的暗号被杨子荣知道了这个就很容易取得了他们的信任。
RSA加密
我们需要先预习一下还给数学老师的知识
欧拉函数
在数论中，存在正整数 n，小于n并且与n互质的正整数的数目称为n的欧拉函数记着φ(n)。例如：
- φ(7) 7对应的比7小的与7互质的数有1、2、3、4、5、6共6个，因此φ(7)=6;
- φ(8) 8对应的比8小的与8互质的数有1，3，5，7共4个，因此φ(8)=4;
- φ(9) 9对应的比9小的与9互质的数有1，2，4，5，6，7，8共7个，，因此φ(9)=7。
通式(P是数N的质因数)
- φ(10)=10×(1-1/2)×(1-1/5)=4;
- φ(30)=30×(1-1/2)×(1-1/3)×(1-1/5)=8;
- φ(49)=49×(1-1/7)=42。
若m n互质：φ(n * m)=φ(n)* φ(m)，如果n为质数那么φ(n)=n-1。
分解质因数求值：φ(12)=φ(4 * 3)=φ( 2^2 * 3^1 )=( 2^2 - 2^1 ) * (3^1 - 3^0)=4。
欧拉定理
如果两个正整数m和n互质，那么m的φ(n) 次方对n取余衡等于1。m^φ(n)%n≡1。
费马小定理
存在一个质数p，而整数a不是p的倍数，则存在a^(p-1)%p≡1。费马小定理是欧拉定理的特殊情况。因为φ(p)=p-1(任何数都与质数互质)。
模反元素
如果两个正整数e和x互质，那么一定存在一个整数d，使得ed-1能够被x整除，则称d是e对x的模反元素。e * d % x≡1，那么e * d ≡ k*x+1。
由以上定理得出以下几个公式：
- m^φ(n)%n≡1
- m^(k * φ(n))%n≡1 两端同乘以m
- m^(k * φ(n)+1)%n≡m
- e * d≡k * x+1
- m^e * d%n≡m 替换第3步k * φ(n)+1
而m^e*d%n≡m就是我们需要的一个非对称加密的公式。m为明文，e和d分别对应的是公钥私钥。迪菲卡尔曼秘钥交换对公式拆分：
- m^e%n=c 加密
- c^d%n=m 解密
其中c为通过e加密后的密文，然后通过d可以解出明文m。因此：
- 公钥： e、n
- 秘钥：d、n
- 明文：m
- 密文：c
RSA加密过程
- 取两个质数p1、p2;
- 确定n值，n=p1 * p2，n值一般会很大长度一般为1024个二进制位;
- 确定φ(n)，φ(n)=(p1-1) * (p2-1);
- 确定e值，1
- 确定d值，e*d%φ(n)=1;
- 加密 c=m^e%n;
- 解密m=c^d%n。
实际验证：
- p1=3， p2=7;
- n=p1 * p2=3 * 7=21;
- φ(n)=(p1-1) * (p2-1)=2*6=12;
- 1
- e * d % φ(n)=5 * d % 12=1，得d=17;
- 设置明文m=3，则c = m^e % n = 3^5 % 21=12;
- 解密密文m=c^d % n=12^17 % 21=3。
通过上面的讲解我们知道在RSA 加密中用到的几6个参数
- p1
- p2
- n
- φ(n)
- e
- d
这六个数字之中，公钥用到了两个(n和e)，其余四个数字都是不公开的。其中最关键的是d，因为n和d组成了私钥，一旦d泄漏，就等于私钥泄漏。
那么，有无可能在已知n和e的情况下，推导出d?
- e*d%φ(n)=1 (只有知道e和φ(n)，才能算出d。)
- φ(n)=(p1-1) * (p2-1) (只有知道p1和p2，才能算出φ(n)。)
- n=p1*p2 (只有将n因数分解，才能算出p和q。)
结论：如果n可以被因数分解，d就可以算出，也就意味着私钥被破解。
可是，大整数的因数分解，是一件非常困难的事情。目前，除了暴力破解，还没有发现别的有效方法。维基百科这样写道：
"对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。换言之，对一极大整数做因数分解愈困难，RSA算法愈可靠。
假如有人找到一种快速因数分解的算法，那么RSA的可靠性就会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA密钥才可能被暴力破解。到2008年为止，世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。
只要密钥长度足够长，用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。"
或许你看到这里还不相信，我写个程序挨着试 不就可以破解出来吗?例如 21 你或许会很快的分解成 3×7 但是这个数再大一点 比如 这个质数 2^57,885,161-1 它有超过1千7百万个数位 如果让传统计算机来验证他是不是质数 估计可以跑到天荒地老。
