为什么有些时候 Python 中乘法比位运算更快-python乘法运算

我本来以为我不再会写水文了，但是突然发现自己现在也只能勉强写写水文才能维持生活这样子。那就继续写水文吧！

某天，一个技术群里老哥提出了这样一个问题，为什么在一些情况下，Python 中的简单乘/除法比位运算要慢。

首先秉持着实事求是的精神，我们先来验证一下：

In [33]: %timeit 1073741825*2                                                                                                                                                                                                                                                                            
7.47 ns ± 0.0843 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100000000 loops each) 
 
In [34]: %timeit 1073741825<<1                                                                                                                                                                                                                                                                           
7.43 ns ± 0.0451 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100000000 loops each) 
 
In [35]: %timeit 1073741823<<1                                                                                                                                                                                                                                                                           
7.48 ns ± 0.0621 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100000000 loops each) 
 
In [37]: %timeit 1073741823*2                                                                                                                                                                                                                                                                            
7.47 ns ± 0.0564 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100000000 loops each)

我们发现几个很有趣的现象：

在值 x<=2^30 时，乘法比直接位运算要快
在值 x>2^32 时，乘法显著慢于位运算

这个现象很有趣，那么这个现象的 root cause 是什么?实际上这和 Python 底层的实现有关。

简单聊聊

1. PyLongObject 的实现

在 Python 2.x 时期，Python 中将整型分为两类，一类是 long, 一类是 int 。在 Python3 中这两者进行了合并。目前在 Python3 中这两者做了合并，仅剩一个 long。

首先来看看 long 这样一个数据结构底层的实现：

struct _longobject { 
    PyObject_VAR_HEAD 
    digit ob_digit[1]; 
};

在这里不用关心，PyObject_VAR_HEAD 的含义，我们只需要关心 ob_digit 即可。

在这里，ob_digit 是使用了 C99 中的“柔性数组”来实现任意长度的整数的存储。这里我们可以看一下官方代码中的文档：

Long integer representation.The absolute value of a number is equal to SUM(for i=0 through abs(ob_size)-1) ob_digit[i] * 2**(SHIFT*i) Negative numbers are represented with ob_size < 0; zero is represented by ob_size == 0. In a normalized number, ob_digit[abs(ob_size)-1] (the most significant digit) is never zero. Also, in all cases, for all valid i,0 <= ob_digit[i] <= MASK. The allocation function takes care of allocating extra memory so that ob_digit[0] ... ob_digit[abs(ob_size)-1] are actually available. CAUTION: Generic code manipulating subtypes of PyVarObject has to aware that ints abuse ob_size's sign bit.

简而言之，Python 是将一个十进制数转为 2^(SHIFT) 进制数来进行存储。这里可能不太好了理解。我来举个例子，在我的电脑上，SHIFT 为 30 ，假设现在有整数 1152921506754330628 ，那么将其转为 2^30 进制表示则为: 4*(2^30)^0+2*(2^30)^1+1*(2^30)^2 。那么此时 ob_digit 是一个含有三个元素的数组，其值为 [4,2,1]。

OK，在明白了这样一些基础知识后，我们回过头去看看 Python 中的乘法运算。

2. Python 中的乘法运算

Python 中的乘法运算，分为两部分，其中关于大数的乘法，Python 使用了 Karatsuba 算法1，具体实现如下：

static PyLongObject * 
k_mul(PyLongObject *a, PyLongObject *b) 
{ 
    Py_ssize_t asize = Py_ABS(Py_SIZE(a)); 
    Py_ssize_t bsize = Py_ABS(Py_SIZE(b)); 
    PyLongObject *ah = NULL; 
    PyLongObject *al = NULL; 
    PyLongObject *bh = NULL; 
    PyLongObject *bl = NULL; 
    PyLongObject *ret = NULL; 
    PyLongObject *t1, *t2, *t3; 
    Py_ssize_t shift;           /* the number of digits we split off */ 
    Py_ssize_t i; 
 
    /* (ah*X+al)(bh*X+bl) = ah*bh*X*X + (ah*bl + al*bh)*X + al*bl 
     * Let k = (ah+al)*(bh+bl) = ah*bl + al*bh  + ah*bh + al*bl 
     * Then the original product is 
     *     ah*bh*X*X + (k - ah*bh - al*bl)*X + al*bl 
     * By picking X to be a power of 2, "*X" is just shifting, and it's 
     * been reduced to 3 multiplies on numbers half the size. 
     */ 
 
    /* We want to split based on the larger number; fiddle so that b 
     * is largest. 
     */ 
    if (asize > bsize) { 
        t1 = a; 
        a = b; 
        b = t1; 
 
        i = asize; 
        asize = bsize; 
        bsize = i; 
    } 
 
    /* Use gradeschool math when either number is too small. */ 
    i = a == b ? KARATSUBA_SQUARE_CUTOFF : KARATSUBA_CUTOFF; 
    if (asize <= i) { 
        if (asize == 0) 
            return (PyLongObject *)PyLong_FromLong(0); 
        else 
            return x_mul(a, b); 
    } 
 
    /* If a is small compared to b, splitting on b gives a degenerate 
     * case with ah==0, and Karatsuba may be (even much) less efficient 
     * than "grade school" then.  However, we can still win, by viewing 
     * b as a string of "big digits", each of width a->ob_size.  That 
     * leads to a sequence of balanced calls to k_mul. 
     */ 
    if (2 * asize <= bsize) 
        return k_lopsided_mul(a, b); 
 
    /* Split a & b into hi & lo pieces. */ 
    shift = bsize >> 1; 
    if (kmul_split(a, shift, &ah, &al) < 0) goto fail; 
    assert(Py_SIZE(ah) > 0);            /* the split isn't degenerate */ 
 
    if (a == b) { 
        bh = ah; 
        bl = al; 
        Py_INCREF(bh); 
        Py_INCREF(bl); 
    } 
    else if (kmul_split(b, shift, &bh, &bl) < 0) goto fail; 
 
    /* The plan: 
     * 1. Allocate result space (asize + bsize digits:  that's always 
     *    enough). 
     * 2. Compute ah*bh, and copy into result at 2*shift. 
     * 3. Compute al*bl, and copy into result at 0.  Note that this 
     *    can't overlap with #2. 
     * 4. Subtract al*bl from the result, starting at shift.  This may 
     *    underflow (borrow out of the high digit), but we don't care: 
     *    we're effectively doing unsigned arithmetic mod 
     *    BASE**(sizea + sizeb), and so long as the *final* result fits, 
     *    borrows and carries out of the high digit can be ignored. 
     * 5. Subtract ah*bh from the result, starting at shift. 
     * 6. Compute (ah+al)*(bh+bl), and add it into the result starting 
     *    at shift. 
     */ 
 
    /* 1. Allocate result space. */ 
    ret = _PyLong_New(asize + bsize); 
    if (ret == NULL) goto fail; 
#ifdef Py_DEBUG 
    /* Fill with trash, to catch reference to uninitialized digits. */ 
    memset(ret->ob_digit, 0xDF, Py_SIZE(ret) * sizeof(digit)); 
#endif 
 
    /* 2. t1 <- ah*bh, and copy into high digits of result. */ 
    if ((t1 = k_mul(ah, bh)) == NULL) goto fail; 
    assert(Py_SIZE(t1) >= 0); 
    assert(2*shift + Py_SIZE(t1) <= Py_SIZE(ret)); 
    memcpy(ret->ob_digit + 2*shift, t1->ob_digit, 
           Py_SIZE(t1) * sizeof(digit)); 
 
    /* Zero-out the digits higher than the ah*bh copy. */ 
    i = Py_SIZE(ret) - 2*shift - Py_SIZE(t1); 
    if (i) 
        memset(ret->ob_digit + 2*shift + Py_SIZE(t1), 0, 
               i * sizeof(digit)); 
 
    /* 3. t2 <- al*bl, and copy into the low digits. */ 
    if ((t2 = k_mul(al, bl)) == NULL) { 
        Py_DECREF(t1); 
        goto fail; 
    } 
    assert(Py_SIZE(t2) >= 0); 
    assert(Py_SIZE(t2) <= 2*shift); /* no overlap with high digits */ 
    memcpy(ret->ob_digit, t2->ob_digit, Py_SIZE(t2) * sizeof(digit)); 
 
    /* Zero out remaining digits. */ 
    i = 2*shift - Py_SIZE(t2);          /* number of uninitialized digits */ 
    if (i) 
        memset(ret->ob_digit + Py_SIZE(t2), 0, i * sizeof(digit)); 
 
    /* 4 & 5. Subtract ah*bh (t1) and al*bl (t2).  We do al*bl first 
     * because it's fresher in cache. 
     */ 
    i = Py_SIZE(ret) - shift;  /* # digits after shift */ 
    (void)v_isub(ret->ob_digit + shift, i, t2->ob_digit, Py_SIZE(t2)); 
    Py_DECREF(t2); 
 
    (void)v_isub(ret->ob_digit + shift, i, t1->ob_digit, Py_SIZE(t1)); 
    Py_DECREF(t1); 
 
    /* 6. t3 <- (ah+al)(bh+bl), and add into result. */ 
    if ((t1 = x_add(ah, al)) == NULL) goto fail; 
    Py_DECREF(ah); 
    Py_DECREF(al); 
    ah = al = NULL; 
 
    if (a == b) { 
        t2 = t1; 
        Py_INCREF(t2); 
    } 
    else if ((t2 = x_add(bh, bl)) == NULL) { 
        Py_DECREF(t1); 
        goto fail; 
    } 
    Py_DECREF(bh); 
    Py_DECREF(bl); 
    bh = bl = NULL; 
 
    t3 = k_mul(t1, t2); 
    Py_DECREF(t1); 
    Py_DECREF(t2); 
    if (t3 == NULL) goto fail; 
    assert(Py_SIZE(t3) >= 0); 
 
    /* Add t3.  It's not obvious why we can't run out of room here. 
     * See the (*) comment after this function. 
     */ 
    (void)v_iadd(ret->ob_digit + shift, i, t3->ob_digit, Py_SIZE(t3)); 
    Py_DECREF(t3); 
 
    return long_normalize(ret); 
 
  fail: 
    Py_XDECREF(ret); 
    Py_XDECREF(ah); 
    Py_XDECREF(al); 
    Py_XDECREF(bh); 
    Py_XDECREF(bl); 
    return NULL; 
}

这里不对 Karatsuba 算法1 的实现做单独解释，有兴趣的朋友可以参考文末的 reference 去了解具体的详情。

在普通情况下，普通乘法的时间复杂度为 n^2 (n 为位数)，而 K 算法的时间复杂度为 3n^(log3) ≈ 3n^1.585 ，看起来 K 算法的性能要优于普通乘法，那么为什么 Python 不全部使用 K 算法呢?

很简单，K 算法的优势实际上要在当 n 足够大的时候，才会对普通乘法形成优势。同时考虑到内存访问等因素，当 n 不够大时，实际上采用 K 算法的性能将差于直接进行乘法。

所以我们来看看 Python 中乘法的实现：

static PyObject * 
long_mul(PyLongObject *a, PyLongObject *b) 
{ 
    PyLongObject *z; 
 
    CHECK_BINOP(a, b); 
 
    /* fast path for single-digit multiplication */ 
    if (Py_ABS(Py_SIZE(a)) <= 1 && Py_ABS(Py_SIZE(b)) <= 1) { 
        stwodigits v = (stwodigits)(MEDIUM_VALUE(a)) * MEDIUM_VALUE(b); 
        return PyLong_FromLongLong((long long)v); 
    } 
 
    z = k_mul(a, b); 
    /* Negate if exactly one of the inputs is negative. */ 
    if (((Py_SIZE(a) ^ Py_SIZE(b)) < 0) && z) { 
        _PyLong_Negate(&z); 
        if (z == NULL) 
            return NULL; 
    } 
    return (PyObject *)z; 
}

在这里我们看到，当两个数皆小于 2^30-1 时，Python 将直接使用普通乘法并返回，否则将使用 K 算法进行计算

这个时候，我们来看一下位运算的实现，以右移为例：

static PyObject * 
long_rshift(PyObject *a, PyObject *b) 
{ 
    Py_ssize_t wordshift; 
    digit remshift; 
 
    CHECK_BINOP(a, b); 
 
    if (Py_SIZE(b) < 0) { 
        PyErr_SetString(PyExc_ValueError, "negative shift count"); 
        return NULL; 
    } 
    if (Py_SIZE(a) == 0) { 
        return PyLong_FromLong(0); 
    } 
    if (divmod_shift(b, &wordshift, &remshift) < 0) 
        return NULL; 
    return long_rshift1((PyLongObject *)a, wordshift, remshift); 
} 
 
static PyObject * 
long_rshift1(PyLongObject *a, Py_ssize_t wordshift, digit remshift) 
{ 
    PyLongObject *z = NULL; 
    Py_ssize_t newsize, hishift, i, j; 
    digit lomask, himask; 
 
    if (Py_SIZE(a) < 0) { 
        /* Right shifting negative numbers is harder */ 
        PyLongObject *a1, *a2; 
        a1 = (PyLongObject *) long_invert(a); 
        if (a1 == NULL) 
            return NULL; 
        a2 = (PyLongObject *) long_rshift1(a1, wordshift, remshift); 
        Py_DECREF(a1); 
        if (a2 == NULL) 
            return NULL; 
        z = (PyLongObject *) long_invert(a2); 
        Py_DECREF(a2); 
    } 
    else { 
        newsize = Py_SIZE(a) - wordshift; 
        if (newsize <= 0) 
            return PyLong_FromLong(0); 
        hishift = PyLong_SHIFT - remshift; 
        lomask = ((digit)1 << hishift) - 1; 
        himask = PyLong_MASK ^ lomask; 
        z = _PyLong_New(newsize); 
        if (z == NULL) 
            return NULL; 
        for (i = 0, j = wordshift; i < newsize; i++, j++) { 
            z->ob_digit[i] = (a->ob_digit[j] >> remshift) & lomask; 
            if (i+1 < newsize) 
                z->ob_digit[i] |= (a->ob_digit[j+1] << hishift) & himask; 
        } 
        z = maybe_small_long(long_normalize(z)); 
    } 
    return (PyObject *)z; 
}

在这里我们能看到，在两侧都是小数的情况下，位移动算法将比普通乘法，存在更多的内存分配等操作。这样也会回答了我们文初所提到的一个问题，“为什么一些时候乘法比位运算更快”。

总结本文差不多就到这里了，实际上通过这次分析我们能得到一些很有趣但是也很冷门的知识。实际上我们目前看到这样一个结果，是 Python 对于我们常见且高频的操作所做的一个特定的设计。而这也提醒我们，Python 实际上对于很多操作都存在自己内建的设计哲学，在日常使用的时候，其余语言的经验，可能无法复用。