「算法与数据结构」二叉树之美

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 前言

这次梳理的内容是数据结构专题中的「树」，如果你看到树这类数据结构时，满脑子头疼，觉得它很难理解，如果是这样子的话，那么本文可能对你或许有点帮助。

俗话说得好，要想掌握理解的话，我们得先了解它的概念，性质等内容。

围绕以下几个点来展开介绍树👇

树的基本概念

• 基本术语
• 树的种类
• 二叉树概念
• 二叉树的遍历
• 二叉树题目汇总

脑图👇

 

 

 

 

树的基本概念

树是用来模拟具有树状结构性质的数据集合。或者你可以把它认为是一种「抽象数据结构」或是实现这种抽象数据类型的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。

那么根据维基百科给出的定义，我们似乎可以这么理解：

它是由n(n>0)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

• 每个节点都只有有限个子节点或无子节点;
• 没有父节点的节点称为根节点;
• 每一个非根节点有且只有一个父节点;
• 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树;
• 树里面没有环路(cycle)

这个时候，我们就需要拿出一张图来看👇

 

 

 

 

从图中来看，以上的五个特点都可以很好的总结出来

• A节点作为根节点，没有父节点，所以是根节点。
• 除根节点(A)外，其他的节点都有父节点，并且每个节点只有有限个子节点或无子节点。
• 从某个节点开始，可以分为很多个子树，举个例子，从B节点开始，即是如此。

既然对树有一定认识后，我们需要了解它的一些术语。

基本术语

 

树的基本术语

 

 

为了更加规范的总结，这里给出的描述来自于维基百科：

• 「节点的度」：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度;
• 「树的度」：一棵树中，最大的节点度称为树的度;
• 「叶节点」或「终端节点」：度为零的节点;
• 「非终端节点」或「分支节点」：度不为零的节点;
• 「父亲节点」或「父节点」：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点;
• 「孩子节点」或「子节点」：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点;
• 「兄弟节点」：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点;
• 节点的「层次」：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推;
• 「深度」：对于任意节点n,n的深度为从根到n的唯一路径长，根的深度为0;
• 「高度」：对于任意节点n,n的高度为从n到一片树叶的最长路径长，所有树叶的高度为0;
• 「堂兄弟节点」：父节点在同一层的节点互为堂兄弟;
• 「节点的祖先」：从根到该节点所经分支上的所有节点;
• 「子孙」：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙;
• 「森林」：由m(m>=0)棵互不相交的树的集合称为森林。

可以结合上述的图来理解这些概念，通过两者的结合，你一定会对树有进一步的了解的。

有以上基本概念，以及一些专业术语的掌握，接下来我们需要对树进行一个分类，看看树有哪些种类。

树的种类

理解了树的概念以及基本术语，接下来，我们需要拓展的内容就是树的种类。

我们可以根据维基百科的依据来作为分类的标准👇

• 无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树;
• 有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树;
• 完全二叉树：对于一颗二叉树，假设其深度为d(d>1)。除了第d层外，其它各层的节点数目均已达最大值，且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树;
• 平衡二叉树(AVL树)：当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树;
• 排序二叉树(英语：Binary Search Tree))：也称二叉搜索树、有序二叉树;
• 满二叉树：所有叶节点都在最底层的完全二叉树;
• 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树;
• 霍夫曼树：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树;
• B树：一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树，能够保持数据有序，拥有多于两个子树。

既然树的分类有这么多的话，那么我们是不是都需要一一掌握呢，我个人觉得，掌握二叉树这种结构就足够了，它也是树最简单、应用最广泛的种类。

那么接下来，我们就来介绍一下二叉树吧。

二叉树的概念

二叉树是一种典型的树树状结构。如它名字所描述的那样，二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构，通常子树被称作“左子树”和“右子树”。

 

 

二叉树

 

 

从这个图片的内容来看，应该很清楚的展示了二叉树的结构。

至于二叉树的性质的话，可以参考下图，作为补充知识吧，个人觉得这个不是重点。

 

 

二叉树的性质

 

 

重点的话，我们需要掌握的应该是它的遍历方式。

二叉树的遍历

我们知道对于二叉树的遍历而言，有常见得三种遍历方式，分别是以下三种：

• 前序遍历
• 中序遍历
• 后续遍历

对于任何一种遍历方式而言，我们不仅需要掌握它的非递归版本，同时对于它的递归版本来说，更是考察一个人的算法基本功，那么接下来，我们来看看吧。

前序遍历

点击这里，练习二叉树的前序遍历

给你二叉树的根节点 root ，返回它节点值的 「前序」 遍历。

假设我们mock一下假数据👇

输入: [1,null,2,3] 
   1 
    \ 
     2 
    / 
   3 
输出: [1,3,2] 

那么根据我们对前序遍历的理解，我们可以写出解题伪代码👇

//   TianTianUp 
//   * function TreeNode(val, left, right) { 
//   *     this.val = (val===undefined ? 0 : val) 
//   *     this.left = (left===undefined ? null : left) 
//   *     this.right = (right===undefined ? null : right) 
//   * } 
let inorderTraversal  = (root, arr = []) => { 
  if(root) { 
    inorderTraversal(root.left, arr) 
    arr.push(root.value) 
    inorderTraversal(root.right, arr) 
  } 
  return arr 
} 

非递归版本👇

对于非递归的话，我们需要借助一个数据结构去存储它的节点，需要使用的就是栈，它的思路可以借鉴👇

• 根节点为目标节点，开始向它子节点遍历
• 1.访问目标节点
• 2.左孩子入栈 -> 直至左孩子为空的节点
• 3.节点出栈，以右孩子为目标节点，再依次执行1、2、3

let preorderTraversal = (root, arr = []) => { 
  const stack = [], res = [] 
  let current = root 
  while(current || stack.length > 0) { 
    while (current) { 
      res.push(current.val) 
      stack.push(current) 
      current = current.left 
    } 
    current = stack.pop() 
    current = current.right 
  } 
  return res 
} 

中序遍历

给定一个二叉树，返回它的中序 遍历。

示例:

• 输入: [1,null,2,3] 1
• 2 / 3
• 输出: [1,3,2]

进阶: 递归算法很简单，你可以通过迭代算法完成吗?

递归版本👇

const inorderTraversal  = (root, arr = []) => { 
  if(root) { 
    inorderTraversal(root.left, arr) 
    arr.push(root.val) 
    inorderTraversal(root.right, arr) 
  } 
  return arr 
} 

非递归版本，这里就不解释了，跟前序遍历一样，思路一样，用栈维护节点信息。

const inorderTraversal = (root, arr = []) => { 
  const stack = [], res = [] 
  let current = root 
  while(current || stack.length > 0) { 
    while (current) { 
      stack.push(current) 
      current = current.left 
    } 
    current = stack.pop() 
    res.push(current.val) 
    current = current.right 
  } 
  return res 
} 

后续遍历

给定一个二叉树，返回它的 后序 遍历。

示例:

• 输入: [1,null,2,3]
• 1
• 2 / 3
• 输出: [3,2,1]

进阶: 递归算法很简单，你可以通过迭代算法完成吗?

来源：力扣(LeetCode) 链接：https://leetcode-cn.com/problems/binary-tree-postorder-traversal 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

递归版本👇

const postorderTraversal  = (root, arr = []) => { 
  if(root) { 
    postorderTraversal(root.left, arr) 
    postorderTraversal(root.right, arr) 
    arr.push(root.val) 
  } 
  return arr 
} 

非递归版本👇

其实，嗯，做完前面两个后，会发现都是有套路滴~

const postorderTraversal = (root, arr = []) => { 
  const stack = [], res = [] 
  let current = root, last = null  // last指针记录上一个节点 
  while(current || stack.length > 0) { 
    while (current) { 
      stack.push(current) 
      current = current.left 
    } 
    current = stack[stack.length - 1] 
    if (!current.right || current.right == last) { 
      current = stack.pop() 
      res.push(current.val) 
      last = current 
      current = null              // 继续弹栈 
    } else { 
      current = current.right 
    } 
  } 
  return res 
} 

二叉树的层次遍历 ⭐⭐

链接：二叉树的层序遍历

给你一个二叉树，请你返回其按 「层序遍历」 得到的节点值。(即逐层地，从左到右访问所有节点)。

示例：二叉树：[3,9,20,null,null,15,7],

• 3
• /
• 9 20 /
• 15 7

返回其层次遍历结果：

• [ [3], [9,20], [15,7] ]

来源：力扣(LeetCode) 链接：https://leetcode-cn.com/problems/binary-tree-level-order-traversal 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

递归版本👇

const levelOrder = function(root) { 
  if(!root) return [] 
  let res = [] 
  dfs(root, 0, res) 
  return res 
} 
 
function dfs(root, step, res){ 
  if(root){ 
      if(!res[step]) res[step] = [] 
      res[step].push(root.val) 
      dfs(root.left, step + 1, res) 
      dfs(root.right, step + 1, res) 
    } 
} 

非递归版本👇

这里借助的就是队列这个数据结构，先进先出的机制。

const levelOrder = (root) => { 
  let queue = [], res = [] 
  if (root) queue.push(root); 
  while (queue.length) { 
      let next_queue = [], 
          now_res = [] 
      while (queue.length) { 
          root = queue.shift() 
          now_res.push(root.val) 
          root.left && next_queue.push(root.left) 
          root.right && next_queue.push(root.right) 
      } 
      queue = next_queue 
      res.push(now_res) 
  } 
  return res 
} 

题目汇总

还是那句话，题目做不完的，剩下的就靠刷leetcode了，我还准备了一些常见的二叉树题集，题目的质量还是不错的👇

• 二叉树的最小深度⭐
• 二叉树的最大深度⭐
• 相同的树⭐
• 二叉搜索树的范围和⭐
• 对称二叉树⭐
• 将有序数组转换为二叉搜索树⭐
• 二叉树的层次遍历 II⭐⭐
• 二叉树的最近公共祖先⭐⭐
• 验证二叉搜索树⭐⭐
• 路径总和 III⭐⭐
• 存在重复元素 III⭐⭐
• 计算右侧小于当前元素的个数⭐⭐⭐