流形学习，自 2000 年在著名的科学杂志《Science》被首次提出以来，已成为信息科学领域的研究热点。可能很多人会问，流形学习有什么用呢？首先流形学习可以作为一种数据降维的方式，第二，流形能够刻画数据的本质。其主要代表方法有等距映射、局部线性嵌入等。那么，具有流形学习 2.0 之称的潜图学习方法如何呢？
自从神经网络提出以来，其在人脸识别、语音识别等方面表现出卓越的性能。以前需要人工提取特征的机器学习任务，现在通过端到端的方法就能解决。
传统的深度学习方法在提取欧氏空间数据（比如图片是规则的正方形栅格，语音数据是一维序列）的特征方面取得了巨大的成功。但是，在许多任务中，数据不具备规则的空间结构，即非欧氏空间下的数据，如电子交易、推荐系统等抽象出来的图谱，图谱中每个节点与其他节点的连接不是固定的。在经典的 CNN、RNN 等框架无法解决或效果不好的情况下，图神经网络应运而生。
图左（红框）：欧氏空间数据；图右：非欧氏空间数据。
图神经网络利用关系归纳偏置来处理以图形式出现的数据。然而，在许多情况下，并没有现成的图。那么图深度学习适用于这类情形吗？本文将介绍潜图学习（latent graph learning）和更早的流形学习（manifold learning）。
潜图学习
在过去的几年里，人们对使用机器学习方法处理图结构数据产生了浓厚的兴趣。这类数据自然也出现在许多应用中，例如社会科学（如 Twitter 或 Facebook 上的用户 Follow 图）、化学（分子可被建模为键连接的原子图）或生物学（不同生物分子之间的相互作用通常被建模为相互作用组图）。图神经网络（GNN）是一种特别流行的图学习方法，该算法通过在相邻节点之间交换信息的共享参数进行局部操作。
然而，在某些情况下，没有现成的图可以作为输入。在生物学中尤其如此，诸如蛋白质 - 蛋白质相互作用的图只有部分已知，因为发现蛋白质相互作用的实验费用昂贵，而且噪声很大。因此，研究者从数据中推断出图并在其上应用 GNN，并将其称为「潜图学习」。潜图学习特定于应用，并针对下游任务进行了优化。此外，有时这样的图可能比任务本身更重要，因为它可以传达关于数据的重要洞察，并提供解释结果的方法。
潜图学习是学习具有空边集的图。在这一设置中，输入为高维特征空间中的点云。在集合上进行深度学习的方法（如 PointNet）对每个点应用共享可学习 point-wise 函数，与之不同，潜图学习还寻求跨点信息传递。
DGCNN
点云动态图卷积神经网络（DGCNN）是第一个这样的架构，该架构由麻省理工学院的 Yue Wang 开发。受计算机图形学中涉及 3D 点云分析问题的启发，该架构将图用作点云下局部光滑流形结构的粗略表示。Yue 的一个重要发现是，图在整个神经网络中不需要保持不变，事实上，它可以而且应该动态更新——因此该方法被命名为 DGCNN。
DGCNN 动态构造一个用于特征扩散的 k 近邻图。图依赖于任务，并在每个层之后更新。这幅图（摘自 [4]）展示了与红点的距离（黄色代表更近的点），表明在分割任务中，更深层次的图捕捉语义关系而不是几何关系，如成对的机翼、发动机等。
DGM
DGCNN 的一个局限性是用相同的空间来构造图和图上的特征。Anees Kazi 和 Luca Cosmo 提出了一种新的架构——可微图模块（DGM），通过对图和特征构造进行解耦来扩展 DGCNN，如下图所示：
DGM 提供了一种基于输入数据构造图并在图上扩散特征的机制。（图源：[5]）
当应用于医学领域问题时，DGM 显示出优秀的结果，例如根据脑成像数据预测疾病。在这些任务中，研究者获取到多个患者的电子健康记录，包括人口统计学特征（如年龄、性别等）和大脑成像特征，并尝试预测患者是否患有神经系统疾病。之前的工作展示了 GNN 在这类任务中的应用，方法是在一个根据人口统计学特征手工构建的「病人图」上进行特征扩散。而 DGM 提供了学习图的优势，可以传达某些特征在特定诊断任务中是如何相互依赖的。其次，DGM 在点云分类任务中也击败了 DGCNN，不过优势很小。
流形学习
DGCNN 和 DGM 在概念上与流形学习或非线性降维算法相似，流形学习很早就已出现并流行，且目前仍用于数据可视化。流形学习方法的基本假设是数据具有内在的低维结构。虽然数据可以在数百甚至数千维的空间中表示，但它却只有几个自由度，示例如下：
虽然这个数据集中的手部图像是高维的（64x64 像素构成 4096 个维度），但它们本质上是低维的，可以用两个自由度来解释：手腕旋转和手指伸展。流形学习算法能够捕捉数据集的这种内在低维结构，并将其在欧几里德空间中进行表示。（图源 [9]）
再比如球面上的一点（即三维欧式空间上的点），可以用三元组来表示其坐标：
但事实上这个三维坐标只有两个变量 θ 和 φ，也可以说它的自由度为 2，正好对应了它是一个二维的流形。
流形学习的目的是捕捉这些自由度，并将数据的维数降至其固有维数。流形学习与 PCA 等线性降维方法的重要区别在于，由于数据的非欧几里德结构，我们可能无法通过线性投影恢复流形。如下图所示，线性降维（左）为线性降维，流形学习（右）为非线性降维。
流形学习算法在恢复「流形」方法上各不相同，但它们有一个共同的蓝图。
首先，创建一个数据表示，通过构造一个 k 近邻图来获取其局部结构。其次，计算数据的低维表示（嵌入），并试图保留原始数据的结构。这是大多数流形学习方法的区别所在。这种新的表示将原来的非欧几里德结构「展平」成一个更容易处理的欧几里德空间。第三，一旦计算出表示，就会对其应用机器学习算法（通常是聚类）。
多种流形学习方法的蓝图：首先，将数据表示为图；其次，计算该图的低维嵌入；第三，将 ML 算法应用于这种低维表示。
这其中面临的一项挑战是图构建与 ML 算法的分离，有时需要精确的参数调整（例如邻域数或邻域半径），以确定如何构建图才能使下游任务正常运行。流形学习算法更严重的缺点或许是：数据很少表示为低维的原始形式。例如，在处理图像时，必须使用各种人工制定的特征提取技术作为预处理步骤。
图深度学习提供了一种现代方法，即用单个图神经网络代替上文提到的三个阶段。例如，在 DGCNN 或 DGM 中，图的构造和学习是同一架构的一部分：
潜图学习可以看作是流形学习问题的一种现代设置，在这里，图被学习并用作某些下游任务优化的端到端 GNN pipeline 的一部分。
这种方法的吸引力在于：将单个数据点和它们所在的空间结合在相同的 pipeline 中。在图像的例子中，我们可以使用传统的 CNN 从每个图像中提取视觉特征，并使用 GNN 来建模它们之间的关系。
PeerNet 是标准 CNN 中基于图的正则化层，可聚合来自多个图像的相似像素，从而降低对对抗性扰动的敏感性。（图源 [12]）
潜图学习的其它应用
潜图学习还有许多其他有趣的应用。
第一是少样本学习：利用基于图的方法从少量样本中进行归纳（重点：只需要少量带有标注的样本）。在计算机视觉中，数据标注量从几千到上万不等，成本很高，因此少样本学习变得越来越重要。
第二是生物学领域：人们经常通过实验观察生物分子如蛋白质的表达水平，并试图重建它们的相互作用和信号网络。
第三是对物理系统的分析：其中图可以描述多个对象之间的交互作用。尤其是处理复杂粒子相互作用的物理学家，最近对基于图的方法表现出了浓厚的兴趣。
第四是 NLP 问题：在 NLP 领域中，图神经网络可以看作是 transformer 架构的泛化。所提到的许多问题也提出了在图结构中加入先验知识，这一结构在很大程度上仍然是开放的：例如，人们可能希望强迫图遵守某些构造规则或与某些统计模型兼容。
潜图学习，虽然不是全新的领域，但它为旧问题提供了新的视角。对于图机器学习问题而言，这无疑是一个有趣的设置，为 GNN 研究人员提供了新的方向。
