在这篇文章中，我们将仔细研究一个名为GCN的著名图神经网络。首先，我们先直观的了解一下它的工作原理，然后再深入了解它背后的数学原理。
为什么要用Graph?
许多问题的本质上都是图。在我们的世界里，我们看到很多数据都是图，比如分子、社交网络、论文引用网络。
Graph上的任务
- 节点分类：预测特定节点的类型。
- 链接预测：预测两个节点是否有联系
- 社区检测：识别密集联系的节点群落。
- 网络相似性：两个(子)网络的相似性有多大?
机器学习的生命周期
在图中，我们有节点特征(代表节点的数据)和图的结构(表示节点如何连接)。
对于节点来说，我们可以很容易地得到每个节点的数据。但是当涉及到图的结构时，要从中提取有用的信息就不是一件容易的事情了。例如，如果2个节点彼此距离很近，我们是否应该将它们与其他对节点区别对待呢?高低度节点又该如何处理呢?其实，对于每一项具体的工作，仅仅是特征工程，即把图结构转换为我们的特征，就会消耗大量的时间和精力。
如果能以某种方式同时得到图的节点特征和结构信息作为输入，让机器自己去判断哪些信息是有用的，那就更好了。
这也是为什么我们需要图表示学习的原因。
图卷积神经网络(GCNs)
论文：基于图神经网络的半监督分类(2017)[3]
GCN是一种卷积神经网络，它可以直接在图上工作，并利用图的结构信息。
它解决的是对图(如引文网络)中的节点(如文档)进行分类的问题，其中仅有一小部分节点有标签(半监督学习)。
在Graphs上进行半监督学习的例子。有些节点没有标签(未知节点)。
主要思想
就像"卷积"这个名字所指代的那样，这个想法来自于图像，之后引进到图(Graphs)中。然而，当图像有固定的结构时，图(Graphs)就复杂得多。
GCN的基本思路：对于每个节点，我们从它的所有邻居节点处获取其特征信息，当然也包括它自身的特征。假设我们使用average()函数。我们将对所有的节点进行同样的操作。最后，我们将这些计算得到的平均值输入到神经网络中。
在下图中，我们有一个引文网络的简单实例。其中每个节点代表一篇研究论文，同时边代表的是引文。我们在这里有一个预处理步骤。在这里我们不使用原始论文作为特征，而是将论文转换成向量(通过使用NLP嵌入，例如tf-idf)。NLP嵌入，例如TF-IDF)。
让我们考虑下绿色节点。首先，我们得到它的所有邻居的特征值，包括自身节点，接着取平均值。最后通过神经网络返回一个结果向量并将此作为最终结果。
GCN的主要思想。我们以绿色节点为例。首先，我们取其所有邻居节点的平均值，包括自身节点。然后，将平均值通过神经网络。请注意，在GCN中，我们仅仅使用一个全连接层。在这个例子中，我们得到2维向量作为输出(全连接层的2个节点)。
在实际操作中，我们可以使用比average函数更复杂的聚合函数。我们还可以将更多的层叠加在一起，以获得更深的GCN。其中每一层的输出会被视为下一层的输入。
2层GCN的例子：第一层的输出是第二层的输入。同样，注意GCN中的神经网络仅仅是一个全连接层(图片来自[2])。
让我们认真从数学角度看看它到底是如何起作用的。
直观感受和背后的数学原理
首先，我们需要一些注解
我们考虑图G，如下图所示。
从图G中，我们有一个邻接矩阵A和一个度矩阵D。同时我们也有特征矩阵X。
那么我们怎样才能从邻居节点处得到每一个节点的特征值呢?解决方法就在于A和X的相乘。
看看邻接矩阵的第一行，我们看到节点A与节点E之间有连接，得到的矩阵第一行就是与A相连接的E节点的特征向量(如下图)。同理，得到的矩阵的第二行是D和E的特征向量之和，通过这个方法，我们可以得到所有邻居节点的向量之和。
计算 "和向量矩阵 "AX的第一行。
这里还有一些需要改进的地方。
- 我们忽略了节点本身的特征。例如，计算得到的矩阵的第一行也应该包含节点A的特征。
- 我们不需要使用sum()函数，而是需要取平均值，甚至更好的邻居节点特征向量的加权平均值。那我们为什么不使用sum()函数呢?原因是在使用sum()函数时，度大的节点很可能会生成的大的v向量，而度低的节点往往会得到小的聚集向量，这可能会在以后造成梯度爆炸或梯度消失(例如，使用sigmoid时)。此外，神经网络似乎对输入数据的规模很敏感。因此，我们需要对这些向量进行归一化，以摆脱可能出现的问题。
在问题(1)中，我们可以通过在A中增加一个单位矩阵I来解决，得到一个新的邻接矩阵Ã。
取lambda=1(使得节点本身的特征和邻居一样重要)，我们就有Ã=A+I，注意，我们可以把lambda当做一个可训练的参数，但现在只要把lambda赋值为1就可以了，即使在论文中，lambda也只是简单的赋值为1。
对于问题(2): 对于矩阵缩放，我们通常将矩阵乘以对角线矩阵。在当前的情况下，我们要取聚合特征的平均值，或者从数学角度上说，要根据节点度数对聚合向量矩阵ÃX进行缩放。直觉告诉我们这里用来缩放的对角矩阵是和度矩阵D̃有关的东西(为什么是D̃，而不是D?因为我们考虑的是新邻接矩阵Ã 的度矩阵D̃，而不再是A了)。
现在的问题变成了我们要如何对和向量进行缩放/归一化?换句话说：
我们如何将邻居的信息传递给特定节点?我们从我们的老朋友average开始。在这种情况下，D̃的逆矩阵(即，D̃^{-1})就会用起作用。基本上，D̃的逆矩阵中的每个元素都是对角矩阵D中相应项的倒数。
例如，节点A的度数为2，所以我们将节点A的聚合向量乘以1/2，而节点E的度数为5，我们应该将E的聚合向量乘以1/5，以此类推。
因此，通过D̃取反和X的乘法，我们可以取所有邻居节点的特征向量(包括自身节点)的平均值。
到目前为止一切都很好。但是你可能会问加权平均()怎么样?直觉上，如果我们对高低度的节点区别对待，应该会更好。
新的缩放方法给我们提供了 "加权 "的平均值。我们在这里做的是给低度的节点加更多的权重，以减少高度节点的影响。这个加权平均的想法是，我们假设低度节点会对邻居节点产生更大的影响，而高度节点则会产生较低的影响，因为它们的影响力分散在太多的邻居节点上。
在节点B处聚合邻接节点特征时，我们为节点B本身分配最大的权重(度数为3)，为节点E分配最小的权重(度数为5)。
因为我们归一化了两次，所以将"-1 "改为"-1/2"
例如，我们有一个多分类问题，有10个类，F 被设置为10。在第2层有了10个维度的向量后，我们将这些向量通过一个softmax函数进行预测。
Loss函数的计算方法很简单，就是通过对所有有标签的例子的交叉熵误差来计算，其中Y_{l}是有标签的节点的集合。
层的数量
#layers的含义
层数是指节点特征能够传输的最远距离。例如，在1层的GCN中，每个节点只能从其邻居那里获得信息。每个节点收集信息的过程是独立进行的，对所有节点来说都是在同一时间进行的。
当在第一层的基础上再叠加一层时，我们重复收集信息的过程，但这一次，邻居节点已经有了自己的邻居的信息(来自上一步)。这使得层数成为每个节点可以走的最大跳步。所以，这取决于我们认为一个节点应该从网络中获取多远的信息，我们可以为#layers设置一个合适的数字。但同样，在图中，通常我们不希望走得太远。设置为6-7跳，我们就几乎可以得到整个图，但是这就使得聚合的意义不大。
GCN应该叠加几层?
在论文中，作者还分别对浅层和深层的GCN进行了一些实验。在下图中，我们可以看到，使用2层或3层的模型可以得到最好的结果。此外，对于深层的GCN(超过7层)，反而往往得到不好的性能(虚线蓝色)。一种解决方案是借助隐藏层之间的残余连接(紫色线)。
做好笔记
- GCNs用于图上的半监督学习。
- GCNs同时使用节点特征和结构进行训练
- GCN的主要思想是取所有邻居节点特征(包括自身节点)的加权平均值。度低的节点获得更大的权重。之后，我们将得到的特征向量通过神经网络进行训练。
- 我们可以堆叠更多的层数来使GCN更深。考虑深度GCNs的残差连接。通常，我们会选择2层或3层的GCN。
- 数学笔记：当看到对角线矩阵时，要想到矩阵缩放。
- 这里有一个使用StellarGraph库的GCN演示[5]。该仓库还提供了许多其他GNN的算法。
论文作者的说明
该框架目前仅限于无向图(加权或不加权)。但是，可以通过将原始有向图表示为一个无向的两端图，并增加代表原始图中边的节点，来处理有向边和边特征。
下一步是什么呢?
对于GCN，我们似乎可以同时利用节点特征和图的结构。然而，如果图中的边有不同的类型呢?我们是否应该对每种关系进行不同的处理?在这种情况下如何聚合邻居节点?最近有哪些先进的方法?
在图专题的下一篇文章中，我们将研究一些更复杂的方法。
如何处理边的不同关系(兄弟、朋友、......)?
