概述
梯度下降是神经网络中流行的优化算法之一。一般来说，我们想要找到最小化误差函数的权重和偏差。梯度下降算法迭代地更新参数，以使整体网络的误差最小化。
梯度下降是迭代法的一种,可以用于求解最小二乘问题(线性和非线性都可以)。在求解机器学习算法的模型参数，即无约束优化问题时，梯度下降(Gradient Descent)是最常采用的方法之一，另一种常用的方法是最小二乘法。在求解损失函数的最小值时，可以通过梯度下降法来一步步的迭代求解，得到最小化的损失函数和模型参数值。反过来，如果我们需要求解损失函数的最大值，这时就需要用梯度上升法来迭代了。在机器学习中，基于基本的梯度下降法发展了两种梯度下降方法，分别为随机梯度下降法和批量梯度下降法。
该算法在损失函数的梯度上迭代地更新权重参数，直至达到最小值。换句话说，我们沿着损失函数的斜坡方向下坡，直至到达山谷。基本思想大致如图3.8所示。如果偏导数为负，则权重增加(图的左侧部分)，如果偏导数为正，则权重减小(图中右半部分) 42 。学习速率参数决定了达到最小值所需步数的大小。
图3.8 随机梯度最小化的基本思想
误差曲面
寻找全局最佳方案的同时避免局部极小值是一件很有挑战的事情。这是因为误差曲面有很多的峰和谷，如图3.9所示。误差曲面在一些方向上可能是高度弯曲的，但在其他方向是平坦的。这使得优化过程非常复杂。为了避免网络陷入局部极小值的境地，通常要指定一个冲量(momentum)参数。
图3.9 典型优化问题的复杂误差曲面
我很早就发现，使用梯度下降的反向传播通常收敛得非常缓慢，或者根本不收敛。在编写第一个神经网络时，我使用了反向传播算法，该网络包含一个很小的数据集。网络用了3天多的时间才收敛到一个解决方案。幸亏我采取一些措施加快了处理过程。
说明 虽然反向传播相关的学习速率相对较慢，但作为前馈算法，其在预测或者分类阶段是相当快速的。
随机梯度下降
传统的梯度下降算法使用整个数据集来计算每次迭代的梯度。对于大型数据集，这会导致冗余计算，因为在每个参数更新之前，非常相似的样本的梯度会被重新计算。随机梯度下降(SGD)是真实梯度的近似值。在每次迭代中，它随机选择一个样本来更新参数，并在该样本的相关梯度上移动。因此，它遵循一条曲折的通往极小值的梯度路径。在某种程度上，由于其缺乏冗余，它往往能比传统梯度下降更快地收敛到解决方案。
说明 随机梯度下降的一个非常好的理论特性是，如果损失函数是凸的 43 ，那么保证能找到全局最小值。
代码实践
理论已经足够多了，接下来敲一敲实在的代码吧。
一维问题
假设我们需要求解的目标函数是：
()=2+1f(x)=x2+1
显然一眼就知道它的最小值是 =0x=0 处，但是这里我们需要用梯度下降法的 Python 代码来实现。
- #!/usr/bin/env python
- # -*- coding: utf-8 -*-
- """
- 一维问题的梯度下降法示例
- """
- def func_1d(x):
- """
- 目标函数
- :param x: 自变量，标量
- :return: 因变量，标量
- """
- return x ** 2 + 1
- def grad_1d(x):
- """
- 目标函数的梯度
- :param x: 自变量，标量
- :return: 因变量，标量
- """
- return x * 2
- def gradient_descent_1d(grad, cur_x=0.1, learning_rate=0.01, precision=0.0001, max_iters=10000):
- """
- 一维问题的梯度下降法
- :param grad: 目标函数的梯度
- :param cur_x: 当前 x 值，通过参数可以提供初始值
- :param learning_rate: 学习率，也相当于设置的步长
- :param precision: 设置收敛精度
- :param max_iters: 最大迭代次数
- :return: 局部最小值 x*
- """
- for i in range(max_iters):
- grad_cur = grad(cur_x)
- if abs(grad_cur) < precision:
- break # 当梯度趋近为 0 时，视为收敛
- cur_x = cur_x - grad_cur * learning_rate
- print("第", i, "次迭代：x 值为 ", cur_x)
- print("局部最小值 x =", cur_x)
- return cur_x
- if __name__ == '__main__':
- gradient_descent_1d(grad_1d, cur_x=10, learning_rate=0.2, precision=0.000001, max_iters=10000)
就是这么酷吧!用Python理解剃度下降!
