经常在各种文章或资料中看到正则化，比如说，一般的目标函数都包含下面两项
其中，误差/损失函数鼓励我们的模型尽量去拟合训练数据，使得最后的模型会有比较少的 bias。而正则化项则鼓励更加简单的模型。因为当模型简单之后，有限数据拟合出来结果的随机性比较小，不容易过拟合，使得最后模型的预测更加稳定。
但一直没有一篇好的文章理清到底什么是正则化？
说到正则化，得先从过拟合问题开始谈起。
1) The Problem of Overfitting(过拟合问题)
拟合问题举例-线性回归之房价问题：
a) 欠拟合(underfit, 也称High-bias，图片来源：斯坦福大学机器学习第七课“正则化”)
b) 合适的拟合：
c) 过拟合(overfit,也称High variance)
什么是过拟合(Overfitting):
如果我们有非常多的特征，那么所学的Hypothesis有可能对训练集拟合的非常好(
)，但是对于新数据预测的很差。
过拟合例子2-逻辑回归：
与上一个例子相似，依次是欠拟合，合适的拟合以及过拟合：
a) 欠拟合
b) 合适的拟合
c) 过拟合
如何解决过拟合问题：
首先，过拟合问题往往源自过多的特征，例如房价问题，如果我们定义了如下的特征：
那么对于训练集，拟合的会非常完美：
所以针对过拟合问题，通常会考虑两种途径来解决：
a) 减少特征的数量：
-人工的选择保留哪些特征；
-模型选择算法
b) 正则化
-保留所有的特征，但是降低参数
的量/值；
-正则化的好处是当特征很多时，每一个特征都会对预测y贡献一份合适的力量；
所以说，使用正则化的目的就是为了是为了防止过拟合。
如上图所示，红色这条想象力过于丰富上下横跳的曲线就是过拟合情形。结合上图和正则化的英文，直译应该叫规则化。
什么是规则？比如明星再红也不能违法，这就是规则，一个限制。同理，规划化就是给需要训练的目标函数加上一些规则（限制），让它们不要自我膨胀，不要过于上下无规则的横跳，不能无法无天。
L1正则化和L2正则化
机器学习中几乎都可以看到损失函数后面会添加一个额外项，常用的额外项一般有两种，一般英文称作ℓ1-norm和ℓ2-norm，中文称作L1正则化和L2正则化，或者L1范数和L2范数。
L1正则化和L2正则化可以看做是损失函数的惩罚项。所谓『惩罚』是指对损失函数中的某些参数做一些限制。
对于线性回归模型，使用L1正则化的模型建叫做Lasso回归，使用L2正则化的模型叫做Ridge回归（岭回归）。
下图是Python中Lasso回归的损失函数，式中加号后面一项α||w||1即为L1正则化项。
下图是Python中Ridge回归的损失函数，式中加号后面一项
即为L2正则化项。
一般回归分析中回归w表示特征的系数，从上式可以看到正则化项是对系数做了处理（限制）。L1正则化和L2正则化的说明如下：
L1正则化是指权值向量w中各个元素的绝对值之和，通常表示为
L2正则化是指权值向量w中各个元素的平方和然后再求平方根（可以看到Ridge回归的L2正则化项有平方符号），通常表示为
一般都会在正则化项之前添加一个系数，Python中用α表示，一些文章也用λ表示。这个系数需要用户指定。
那添加L1和L2正则化有什么用？
L1正则化可以产生稀疏权值矩阵，即产生一个稀疏模型，可以用于特征选择
L2正则化可以防止模型过拟合（overfitting）。当然，一定程度上，L1也可以防止过拟合
稀疏模型与特征选择
上面提到L1正则化有助于生成一个稀疏权值矩阵，进而可以用于特征选择。为什么要生成一个稀疏矩阵？
稀疏矩阵指的是很多元素为0，只有少数元素是非零值的矩阵，即得到的线性回归模型的大部分系数都是0. 通常机器学习中特征数量很多，例如文本处理时，如果将一个词组（term）作为一个特征，那么特征数量会达到上万个（bigram）。
在预测或分类时，那么多特征显然难以选择，但是如果代入这些特征得到的模型是一个稀疏模型，表示只有少数特征对这个模型有贡献，绝大部分特征是没有贡献的，或者贡献微小（因为它们前面的系数是0或者是很小的值，即使去掉对模型也没有什么影响），此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。这就是稀疏模型与特征选择的关系。
L1正则化和特征选择
假设有如下带L1正则化的损失函数：
其中J0是原始的损失函数，加号后面的一项是L1正则化项，α是正则化系数。注意到L1正则化是权值的绝对值之和，J是带有绝对值符号的函数，因此J是不完全可微的。
机器学习的任务就是要通过一些方法（比如梯度下降）求出损失函数的最小值。当我们在原始损失函数J0后添加L1正则化项时，相当于对J0做了一个约束。令L=α∑w|w|，则J=J0+L，此时我们的任务变成在L约束下求出J0取最小值的解。
考虑二维的情况，即只有两个权值w1和w2，此时L=|w1|+|w2|对于梯度下降法，求解J0的过程可以画出等值线，同时L1正则化的函数L也可以在w1w2的二维平面上画出来。
如下图：
图中等值线是J0的等值线，黑色方形是L函数的图形。
在图中，当J0等值线与LL图形首次相交的地方就是最优解。上图中J0与L在L的一个顶点处相交，这个顶点就是最优解。注意到这个顶点的值是(w1,w2)=(0,w)。可以直观想象，因为L函数有很多『突出的角』（二维情况下四个，多维情况下更多），J0与这些角接触的机率会远大于与L其它部位接触的机率，而在这些角上，会有很多权值等于0，这就是为什么L1正则化可以产生稀疏模型，进而可以用于特征选择。
而正则化前面的系数α，可以控制L图形的大小。α越小，L的图形越大（上图中的黑色方框）；α越大，L的图形就越小，可以小到黑色方框只超出原点范围一点点，这是最优点的值(w1,w2)=(0,w)中的w可以取到很小的值。
类似，假设有如下带L2正则化的损失函数：
同样可以画出他们在二维平面上的图形，如下：
二维平面下L2正则化的函数图形是个圆，与方形相比，被磨去了棱角。因此J0与L相交时使得w1或w2等于零的机率小了许多，这就是为什么L2正则化不具有稀疏性的原因。
PRML一书对这两个图是这么解释的
上图中的模型是线性回归，有两个特征，要优化的参数分别是w1和w2，左图的正则化是L2，右图是L1。蓝色线就是优化过程中遇到的等高线，一圈代表一个目标函数值，圆心就是样本观测值（假设一个样本），半径就是误差值，受限条件就是红色边界（就是正则化那部分），二者相交处，才是最优参数。
可见右边的最优参数只可能在坐标轴上，所以就会出现0权重参数，使得模型稀疏。
L2正则化和过拟合
拟合过程中通常都倾向于让权值尽可能小，最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。
可以设想一下对于一个线性回归方程，若参数很大，那么只要数据偏移一点点，就会对结果造成很大的影响；但如果参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响，专业一点的说法是『抗扰动能力强』。
那为什么L2正则化可以获得值很小的参数？
以线性回归中的梯度下降法为例。假设要求的参数为θ，hθ(x)是我们的假设函数，那么线性回归的代价函数如下：
那么在梯度下降法中，最终用于迭代计算参数θ的迭代式为：
其中α是learning rate. 上式是没有添加L2正则化项的迭代公式，如果在原始代价函数之后添加L2正则化，则迭代公式会变成下面的样子：
其中λ就是正则化参数。从上式可以看到，与未添加L2正则化的迭代公式相比，每一次迭代，θj都要先乘以一个小于1的因子，从而使得θj不断减小，因此总得来看，θ是不断减小的。
最开始也提到L1正则化一定程度上也可以防止过拟合。之前做了解释，当L1的正则化系数很小时，得到的最优解会很小，可以达到和L2正则化类似的效果。
最后再补充一个角度：正则化其实就是对模型的参数设定一个先验，这是贝叶斯学派的观点。L1正则是laplace先验，l2是高斯先验，分别由参数sigma确定。在数据少的时候，先验知识可以防止过拟合。
举两个最简单的例子。
1 抛硬币，推断正面朝上的概率。如果只能抛5次，很可能5次全正面朝上，这样你就得出错误的结论：正面朝上的概率是1--------过拟合！如果你在模型里加正面朝上概率是0.5的先验，结果就不会那么离谱。这其实就是正则。
2. 最小二乘回归问题：加L2范数正则等价于加了高斯分布的先验，加L1范数正则相当于加拉普拉斯分布先验。
