彩票怎样才能中奖?
理论上，只能靠运气。但是，如果规则设计得不好，就可以钻漏洞。
2005年2月，美国的一个彩票品种，就出现了漏洞，被麻省理工学院的学生发现了。随后的七年，这个学生反复购买这个品种，一共赚到了300万美元。
本文介绍他怎么做的，以及其中的数学原理。我依据的材料，主要来自数学教授 Jordan Ellenberg 在斯坦福大学的一次演讲(Youtube)。
一、期望值
彩票最重要的数学概念，叫做"期望值"(expected value)，即同一种行为多次重复以后，所能得到的平均收益。
举例来说，如果每次抽奖需要2元，假设200次抽奖可以中奖一次，奖金为300元。那么，你花了2000元，一共抽奖1000次，中奖了5次，奖金为1500元。
也就是说，1000次抽奖的总收益是1500元，每次的平均收益是1.5元，这就是期望值。它的计算公式如下。
- 期望值 = 300 * (1 / 200) + 0 * (199 / 200) = 1.5
期望值是1.5元，但是每次抽奖成本2元，于是净亏损0.5元。
一看就知道，这个事情是不划算的，做得越多，越不划算。偶尔买一次彩票，倒也算了;如果你一天到晚不断买彩票，就肯定会亏很多钱(上例是每200次亏100元)。
总之，期望值是衡量彩票收益的一个关键指标。
二、马萨诸塞州的 WinFall 彩票
美国马萨诸塞州有一个彩票品种，叫做 WinFall。它的规则很简单：1到48里面，你猜6个数字，猜中就有奖。
- 四等奖(6个猜中2个)：奖金2元
- 三等奖(6个猜中3个)：奖金5元
- 二等奖(6个猜中4个)：奖金150元
- 一等奖(6个猜中5个)：奖金4000元
- 特等奖(6个猜中6个)：奖金池剩余的全部奖金
有一期，一共卖出了930万张彩票，其中特等奖一个，奖金100万美元，一等奖238个，二等奖11625个，三等奖19.8万个，四等奖136.8万个。
计算可知，这种彩票的期望值是0.798元。
- 期望值 =
- 100万 * ( 1 / 930万) +
- 4000 * ( 238 / 930万) +
- 150 * (11625 / 930万) +
- 5 * (19.8万 / 930万) +
- 2 * (136.8万 / 930万 )
- = 0.798
每张彩票的价格是2元，可是平均收益只有0.798元，连一半都不到，可见这种彩票是非常不划算的。因此没有吸引力，购买这种彩票的民众不断减少。
州政府很着急，因为政府从彩票抽成20%(每张0.4元)。如果销售量减少，政府的收益也会减少。于是，政府为了增加这种彩票的吸引力，决定修改彩票规则。
三、新规则
新的规则是，如果当期没有特等奖(没人猜中6个数字)，那么奖金会分配给一等奖、二等奖、三等奖的得主，各奖项新的中奖金额如下。
- 一等奖(6中5)：50000元
- 二等奖(6中4)：2385元
- 三等奖(6中3)：60元
还是使用前面的中奖率，计算期望值。
- 期望值 =
- 50000 * ( 238 / 930万) +
- 2385 * (11625 / 930万) +
- 60 * (19.8万 / 930万) +
- = 5.53
每张彩票的价格还是2元，但是期望值变成了5.53元。购买这种彩票就变得非常划算，大量购买的话， 可以得到2.5倍的收益。之所以期望值大于彩票的成本，是因为奖金池还包含前期剩余的奖金。
麻省理工学院的一个学生，发现了这一点。他凑了5000元购买彩票，结果中了将近15000元!
四、如何选择号码?
现在我们知道，新规则的彩票是有利可图的，可以大量购买。但是，还有一个问题，应该怎么选择号码，才能保证收益?也就是说，48个号码里面，你应该选择哪6个号码，才能收益最大化?
毕竟你不能购买所有彩票，因为彩票的收益来自没中奖的那些人。你只能购买一部分彩票，设法使得自己购买的号码有最大的中奖可能。
为了简化思考，让我们考虑一种简单的情况。1到7里面猜三个数字，奖金如下。
- 猜中3个：奖金6元
- 猜中2个：奖金2元
- 猜中1个：无奖金
你可以同时选择七种组合(即购买七张彩票)，请问应该如何选择号码?
五、组合数公式
首先，让我们考虑一下，1到7这七个数字里面，三个数字的组合一共有多少种?这在数学里面，叫做组合数公式。
- 组合数公式是指从 m 个不同元素中，取出 n(n ≤ m)个元素的所有组合的个数，用符号 c(m, n) 表示。
它的计算公式如下。
- c(m, n) = m! / n! * (m - n)!
上面公式中，感叹号表示阶乘，比如4! 等于4 * 3 * 2 * 1 。
按照上面的定义，七个数字里面的三个号码的组合，共有c(7, 3)个。
- c(7, 3) = 7! / 3! * (7 - 3)! = 35
这就是说，三个数字的组合共有 35 种。我们可以把它们全部列出来。
- 123 124 125 126 127
- 134 135 136 137
- 145 146 147
- 156 157
- 167
- 234 235 236 237
- 245 246 247
- 256 257
- 267
- 345 346 347
- 356 357
- 367
- 456 457
- 467
- 567
上面是所有35种可能的组合，你必须从中选出7种。请问应该选择哪七种?
六、最佳组合
答案是下面这七种组合。
- 123 145 167 247 256 346 357
这七张彩票能让你的收益最大化。因为，不管最后的中奖号码是什么，它们可以保证你总是获得6元奖金。如果中奖号码是123，那么你拿到头奖6元;如果中奖号码是367，那么167、346、357这三张彩票各自猜中两个号码，你中了三个小奖，奖金总额也是6元。
仔细观察这七张彩票，你会发现它们是精心选择的：每个数字都正好出现三次。这导致你要么中一个大奖，要么中三个小奖。
七、几何选择法
这七张彩票是怎么选出的呢?
有一种几何方法，可以非常简单地做到这一点。七个号码就是七个点，把它们用直线连起来，每根线上只能有三个点，而每个点出现在三根线上。画成上面的形状，就得到了七根线(内部的圆也算一根线)。然后，记录一下每根线上的号码，很简单就选出了七张彩票。
更严谨的证明是这样的：1到7这七个数字，共有21种两个数字的组合(C(7, 2))，这意味着只要把这21种组合都买全了，就可以保证中三个小奖。因为三个中奖号码里面，共有三种两个数字的组合(比如中奖号码是367，那么36、37、67都可以中小奖)。另一方面，由于每张彩票包含三个号码，即包含三种两个数字的组合，那么最少只要买7张彩票就能覆盖全部21种组合。
八、实际的策略
回到前面的问题，马萨诸塞州的彩票应该怎么买?
6个号码只要猜中4个，就可以中二等奖，只要把所有四个号码的组合都买了，就可以确保中15个二等奖(6个中奖号码共有15个四个号码的组合C(6, 4))。
48个号码里面共有194580种四个号码的组合(C(48, 4))，既然一张彩票包含15种组合，那么最少购买12972张彩票就够了(194580 / 15 = 12972)，就可以包含所有四个号码的组合。如果有兴趣的话，你可以写一个程序，算出包含这194580种组合的所有彩票。
购买12972张彩票，需要25944元(12972 * 2)。根据前面的奖金额，二等奖的奖金是2385元，那么15个二等奖就是35775元(2385 * 15)。因此，投入25944元，可以无风险地获得35775元。当然，这样做的前提是，当期没人猜中特等奖，否则奖金就会被大大稀释。
