二叉树的定义以及存储结构

 二叉树的定义：

二叉树是n个结点的有限集合，该集合或者为空集，或者由一个根结点和两颗互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树具有五种基本的形态：

1. 空二叉树。
2. 只有一个根结点。
3. 根结点只有左子树。
4. 根结点只有右子树。

特殊的二叉树

1. 斜树。
2. 满二叉树。
3. 完全二叉树。

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二叉树的顺序存储结构：

二叉树的顺序存储结构就是用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置，也就是数组的下标要能体现结点之间的逻辑关系，比如双亲与孩子的关系，左右兄弟的关系。

使用顺序存储结构表现二叉树的时候，在其线性结构中，会存在一些空结点，但是其会占据一定的内存空间，会造成存储空间的浪费；所以，顺序存储结构一般只用于完全二叉树。

二叉树的链式存储结构：

由于二叉树的每个结点最多有两个孩子，所以为每个结点设计一个数据域和两个指针域，通常将其称之为二叉链表。

二叉链表的结点结构定义代码：

typedef char TElemType; 
typedef struct BinaryTreeNode{ 
    TElemType data;     
    //lchild指向左结点的指针 
    //rchild指向右结点的指针 
    struct BinaryTreeNode *lchild,*rchild; 
}BinaryTreeNode,*BinaryTree; 

二叉树的遍历

二叉树的遍历是指从根结点出发，按照某种次序一次访问二叉树中所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。

二叉树的遍历方法：

1. 前序遍历
2. 中序遍历
3. 后序遍历

1.首先创建一棵二叉树

构建二叉树，向结点的数据域中添加字符。

void CreateBinaryTree(BinaryTree *T){ 
    TElemType ch;     
    cin>>ch;     
    if (ch=='$'){ 
        *T=NULL; 
    }else{ 
        *T=new BinaryTreeNode;         
        if (!*T)return; 
        (*T)->data=ch; 
        CreateBinaryTree(&(*T)->lchild); 
        CreateBinaryTree(&(*T)->rchild); 
    } 
} 

2.二叉树的前序遍历算法

void PreOrderTraverse(BinaryTree T){     
if (T==NULL){         
    cout<<"#"<<"  ";         
        return; 
    }     
    cout<<T->data<<"  "; 
    PreOrderTraverse(T->lchild); 
    PreOrderTraverse(T->rchild); 
} 

3.二叉树的中序遍历算法

void InOderTraverse(BinaryTree T){     
if(T!=NULL){         
        cout<<"#"<<"  ";         
        return; 
    } 
    InOderTraverse(T->lchild);     
    cout<<T->data<<"  "; 
    InOrderTraverse(T->rchild); 
} 

4.二叉树的后序遍历算法

void PostOrderTraverse(BinaryTree T){     
    if (T->NULL){         
        cout<<"#"<<"  ";         
        return; 
    } 
    PostOrderTraverse(T->lchild); 
    PostOrderTraverse(T->rchild);     
    cout<<T->data<<"  "; 
} 

前序遍历、中序遍历和后序遍历算法的核心算法大致相同，都是利用了函数递归的原理。这里顺带补充一下关于函数递归调用的原理：

裴波那契数列的实现来讲解函数的递归调用，假设存在这样一个函数：

使用递归实现裴波那契数列代码如下：

int Fibonacci(int i){     
    if (i<2){         
        return i==0?0:1; 
    }     
        return Fibonacci(i-1)+Fibonacci(i-2); 
} 

通过二叉树的结构来分析递归调用的执行过程：（摘自大话数据结构 P103页）

主函数中的测试代码如下：

//测试代码int main() 
{ 
    BinaryTree tree = new BinaryTreeNode;     
    cout << "构建一颗由字符构成的二叉树，#代表空" << endl; 
    CreateBinaryTree(&tree);     
    cout << "二叉树的前序遍历输出" << endl; 
    PreOderTraverse(tree);     
    cout << endl;     
    cout << "二叉树的中序遍历输出" << endl; 
    InOderTraverse(tree);     
    cout << endl;     
    cout << "二叉树的后序遍历输出" << endl; 
    PostOderTraverse(tree);     
    cout << endl;     
    return 0; 
} 

输出如下图所示：

假设输入这样一个二叉树数据结构：

代表当前节点的数据域为空

ABD#J##EK###CFL###G##