决策树
引言
决策树，是机器学习中一种非常常见的分类方法，也可以说是所有算法中最直观也最好理解的算法。先举个最简单的例子：
A：你去不去吃饭?
B：你去我就去。
“你去我就去”，这是典型的决策树思想。
再举个例子：
有人找我借钱(当然不太可能。。。)，借还是不借?我会结合根据我自己有没有钱、我自己用不用钱、对方信用好不好这三个特征来决定我的答案。
我们把转到更普遍一点的视角，对于一些有特征的数据，如果我们能够有这么一颗决策树，我们也就能非常容易地预测样本的结论。所以问题就转换成怎么求一颗合适的决策树，也就是怎么对这些特征进行排序。
在对特征排序前先设想一下，对某一个特征进行决策时，我们肯定希望分类后样本的纯度越高越好，也就是说分支结点的样本尽可能属于同一类别。
所以在选择根节点的时候，我们应该选择能够使得“分支结点纯度最高”的那个特征。在处理完根节点后，对于其分支节点，继续套用根节点的思想不断递归，这样就能形成一颗树。这其实也是贪心算法的基本思想。那怎么量化“纯度最高”呢?熵就当仁不让了，它是我们最常用的度量纯度的指标。其数学表达式如下：
其中N表示结论有多少种可能取值，p表示在取第k个值的时候发生的概率，对于样本而言就是发生的频率/总个数。
熵越小，说明样本越纯。
以一个两点分布样本X(x=0或1)的熵的函数图像来说明吧，横坐标表示样本值为1的概率，纵坐标表示熵。
可以看到到当p(x=1)=0时，也就是说所有的样本都为0，此时熵为0.
当p(x=1)=1时，也就是说所有的样本都为1，熵也为0.
当p(x=1)=0.5时，也就是样本中0，1各占一半，此时熵能取得最大值。
扩展一下，样本X可能取值为n种(x1。。。。xn)。可以证明，当p(xi)都等于1/n 时，也就是样本绝对均匀，熵能达到最大。当p(xi)有一个为1，其他都为0时，也就是样本取值都是xi，熵最小。
决策树算法
ID3
假设在样本集X中，对于一个特征a，它可能有(a1，a2。。。an)这些取值，如果用特征a对样本集X进行划分(把它当根节点)，肯定会有n个分支结点。刚才提了，我们希望划分后，分支结点的样本越纯越好，也就是分支结点的“总熵”越小越好。
因为每个分支结点的个数不一样，因此我们计算“总熵”时应该做一个加权，假设第i个结点样本个数为W(ai)，其在所有样本中的权值为W(ai) / W(X)。所以我们可以得到一个总熵：
这个公式代表含义一句话：加权后各个结点的熵的总和。这个值应该越小，纯度越高。
这时候，我们引入一个名词叫信息增益G(X，a)，意思就是a这个特征给样本带来的信息的提升。公式就是：
，由于H(X)对一个样本而言，是一个固定值，因此信息增益G应该越大越好。寻找使得信息增益最大的特征作为目标结点，并逐步递归构建树，这就是ID3算法的思想，好了以一个简单的例子来说明信息增益的计算：
上面的例子，我计算一下特征1的信息增益
首先计算样本的熵H(X)
再计算总熵，可以看到特征1有3个结点A、B、C，其分别为6个、6个、5个
所以A的权值为6/(6+6+5), B的权值为6/(6+6+5), C的为5/(6+6+5)
因为我们希望划分后结点的纯度越高越好，因此还需要再分别计算结点A、B、C的熵
特征1=A：3个是、3个否，其熵为
特征1=B：2个是、4个否，其熵为
特征1=C：4个是、1个否，其熵为
这样分支结点的总熵就等于：
特征1的信息增益就等于0.998-0.889=0.109
类似地，我们也能算出其他的特征的信息增益，最终取信息增益最大的特征作为根节点。
以上计算也可以有经验条件熵来推导：G(X,A)=H(X) - H(X|A)，这部分有兴趣的同学可以了解一下。
C4.5
在ID3算法中其实有个很明显的问题。
如果有一个样本集，它有一个叫id或者姓名之类的(唯一的)的特征，那就完蛋了。设想一下，如果有n个样本，id这个特征肯定会把这个样本也分成n份，也就是有n个结点，每个结点只有一个值，那每个结点的熵就为0。就是说所有分支结点的总熵为0，那么这个特征的信息增益一定会达到最大值。因此如果此时用ID3作为决策树算法，根节点必然是id这个特征。但是显然这是不合理的。。。
当然上面说的是极限情况，一般情况下，如果一个特征对样本划分的过于稀疏，这个也是不合理的(换句话就是，偏向更多取值的特征)。为了解决这个问题，C4.5算法采用了信息增益率来作为特征选取标准。
所谓信息增益率，是在信息增益基础上，除了一项split information,来惩罚值更多的属性。
而这个split information其实就是特征个数的熵H(A)。
为什么这样可以减少呢，以上面id的例子来理解一下。如果id把n个样本分成了n份，那id这个特征的取值的概率都是1/n，文章引言已经说了，样本绝对均匀的时候，熵最大。
因此这种情况，以id为特征，虽然信息增益最大，但是惩罚因子split information也最大，以此来拉低其增益率，这就是C4.5的思想。
CART
决策树的目的最终还是寻找到区分样本的纯度的量化标准。在CART决策树中，采用的是基尼指数来作为其衡量标准。基尼系数直观的理解是，从集合中随机抽取两个样本，如果样本集合越纯，取到不同样本的概率越小。这个概率反应的就是基尼系数。
因此如果一个样本有K个分类。假设样本的某一个特征a有n个取值的话，其某一个结点取到不同样本的概率为：
因此k个分类的概率总和，我们称之为基尼系数：
而基尼指数，则是对所有结点的基尼系数进行加权处理
计算出来后，我们会选择基尼系数最小的那个特征作为最优划分特征。
剪枝
剪枝的目的其实就是防止过拟合，它是决策树防止过拟合的最主要手段。决策树中，为了尽可能争取的分类训练样本，所以我们的决策树也会一直生长。但是呢，有时候训练样本可能会学的太好，以至于把某些样本的特有属性当成一般属性。这时候就我们就需要主动去除一些分支，来降低过拟合的风险。
剪枝一般有两种方式：预剪枝和后剪枝。
预剪枝
一般情况下，只要结点样本已经100%纯了，树才会停止生长。但这个可能会产生过拟合，因此我们没有必要让它100%生长，所以在这之前，设定一些终止条件来提前终止它。这就叫预剪枝，这个过程发生在决策树生成之前。
一般我们预剪枝的手段有：
1、限定树的深度
2、节点的子节点数目小于阈值
3、设定结点熵的阈值
等等。
后剪枝
顾名思义，这个剪枝是在决策树建立过程后。后剪枝算法的算法很多，有些也挺深奥，这里提一个简单的算法的思想，就不深究啦。
Reduced-Error Pruning (REP)
该剪枝方法考虑将树上的每个节点都作为修剪的候选对象，但是有一些条件决定是否修剪，通常有这几步：
1、删除其所有的子树，使其成为叶节点。
2、赋予该节点最关联的分类
3、用验证数据验证其准确度与处理前比较
如果不比原来差，则真正删除其子树。然后反复从下往上对结点处理。这个处理方式其实是处理掉那些“有害”的节点。
随机森林
随机森林的理论其实和决策树本身不应该牵扯在一起，决策树只能作为其思想的一种算法。
为什么要引入随机森林呢。我们知道，同一批数据，我们只能产生一颗决策树，这个变化就比较单一了。还有要用多个算法的结合呢?
这就有了集成学习的概念。
图中可以看到，每个个体学习器(弱学习器)都可包含一种算法，算法可以相同也可以不同。如果相同，我们把它叫做同质集成，反之则为异质。
随机森林则是集成学习采用基于bagging策略的一个特例。
从上图可以看出，bagging的个体学习器的训练集是通过随机采样得到的。通过n次的随机采样，我们就可以得到n个样本集。对于这n个样本集，我们可以分别独立的训练出n个个体学习器，再对这n个个体学习器通过集合策略来得到最终的输出，这n个个体学习器之间是相互独立的，可以并行。
注：集成学习还有另一种方式叫boosting，这种方式学习器之间存在强关联，有兴趣的可以了解下。
随机森林采用的采样方法一般是是Bootstap sampling，对于原始样本集，我们每次先随机采集一个样本放入采样集，然后放回，也就是说下次采样时该样本仍有可能被采集到，经过一定数量的采样后得到一个样本集。由于是随机采样，这样每次的采样集是和原始样本集不同的，和其他采样集也是不同的，这样得到的个体学习器也是不同的。
随机森林最主要的问题是有了n个结果，怎么设定结合策略，主要方式也有这么几种：
加权平均法：
平均法常用于回归。做法就是，先对每个学习器都有一个事先设定的权值wi，
然后最终的输出就是：
当学习器的权值都为1/n时，这个平均法叫简单平均法。
投票法：
投票法类似我们生活中的投票，如果每个学习器的权值都是一样的。
那么有绝对投票法，也就是票数过半。相对投票法，少数服从多数。
如果有加权，依然是少数服从多数，只不过这里面的数是加权后的。
例子
以一个简单的二次函数的代码来看看决策树怎么用吧。
训练数据是100个随机的真实的平方数据，不同的深度将会得到不同的曲线
测试数据也是随机数据，但是不同深度的树的模型，产生的预测值也不太一样。如图
这幅图的代码如下：
我的是python 3.6环境，需要安装numpy、matplotlib、sklearn这三个库，需要的话直接pip install，大家可以跑跑看看，虽然简单但挺有趣。
- #!/usr/bin/python
- # -*- coding:utf-8 -*-
- import numpy as np
- import matplotlib as mpl
- import matplotlib.pyplot as plt
- from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor
- if __name__ == "__main__":
- # 准备训练数据
- N = 100
- x = np.random.rand(N) * 6 - 3
- x.sort()
- y = x*x
- x = x.reshape(-1, 1)
- mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
- mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
- # 决策树深度及其曲线颜色
- depth = [2, 4, 6, 8, 10]
- clr = 'rgbmy'
- # 实际值
- plt.figure(facecolor='w')
- plt.plot(x, y, 'ro', ms=5, mec='k', label='实际值')
- # 准备测试数据
- x_test = np.linspace(-3, 3, 50).reshape(-1, 1)
- # 构建决策树
- dtr = DecisionTreeRegressor()
- # 循环不同深度情况下决策树的模型，并用之测试数据的输出
- for d, c in zip(depth, clr):
- # 设置最大深度（预剪枝）
- dtr.set_params(max_depth=d)
- # 训练决策树
- dtr.fit(x, y)
- # 用训练数据得到的模型来验证测试数据
- y_hat = dtr.predict(x_test)
- # 画出模型得到的曲线
- plt.plot(x_test, y_hat, '-', color=c, linewidth=2, markeredgecolor='k', label='Depth=%d' % d)
- # 一些画图的基本参数
- plt.legend(loc='upper center', fontsize=12)
- plt.xlabel('X')
- plt.ylabel('Y')
- plt.grid(b=True, ls=':', color='#606060')
- plt.title('二次函数决策树', fontsize=15)
- plt.tight_layout(2)
- plt.show()
原文链接：https://www.qcloud.com/community/article/160232
作者：汪毅雄
【本文是51CTO专栏作者“腾讯云技术社区”的原创稿件，转载请通过51CTO联系原作者获取授权】
