Java数据结构与算法解析(八)——伸展树-java 数据结构与算法

伸展树简介

伸展树(Splay Tree)是特殊的二叉查找树。

它的特殊是指，它除了本身是棵二叉查找树之外，它还具备一个特点: 当某个节点被访问时，伸展树会通过旋转使该节点成为树根。这样做的好处是，下次要访问该节点时，能够迅速的访问到该节点。

特性

和普通的二叉查找树相比，具有任何情况下、任何操作的平摊O(log2n)的复杂度，时间性能上更好
和一般的平衡二叉树比如红黑树、AVL树相比，维护更少的节点额外信息，空间性能更优，同时编程复杂度更低
在很多情况下，对于查找操作，后面的查询和之前的查询有很大的相关性。这样每次查询操作将被查到的节点旋转到树的根节点位置，这样下次查询操作可以很快的完成
可以完成对区间的查询、修改、删除等操作，可以实现线段树和树状数组的所有功能

旋转

伸展树实现O(log2n)量级的平摊复杂度依靠每次对伸展树进行查询、修改、删除操作之后，都进行旋转操作 Splay(x, root)，该操作将节点x旋转到树的根部。

伸展树的旋转有六种类型，如果去掉镜像的重复，则为三种：zig(zag)、zig-zig(zag-zag)、zig-zag(zag-zig)。

1 自底向上的方式进行旋转

1.1 zig旋转

如图所示，x节点的父节点为y，x为y的左子节点，且y节点为根。则只需要对x节点进行一次右旋(zig操作)，使之成为y的父节点，就可以使x成为伸展树的根节点。

1.2 zig-zig旋转

如上图所示，x节点的父节点y，y的父节点z，三者在一字型链上。此时，先对y节点和z节点进行zig旋转，然后再对x节点和y节点进行zig旋转，最后变为右图所示，x成为y和z的祖先节点。

1.3 zig-zag旋转

如上图所示，x节点的父节点y，y的父节点z，三者在之字型链上。此时，先对x节点和y节点进行zig旋转，然后再对x节点和y节点进行zag旋转，最后变为右图所示，x成为y和z的祖先节点。

2 自顶向下的方式进行旋转

这种方式不需要节点存储其父节点的引用。当我们沿着树向下搜索某个节点x时，将搜索路径上的节点及其子树移走。构建两棵临时的树——左树和右树。没有被移走的节点构成的树称为中树。

当前节点x是中树的根
左树L保存小于x的节点
右树R保存大于x的节点

开始时候，x是树T的根，左树L和右树R都为空。三种旋转操作：

2.1 zig旋转

如图所示，x节点的子节点y就是我们要找的节点，则只需要对y节点进行一次右旋(zig操作)，使之成为x的父节点，就可以使y成为伸展树的根节点。将y作为中树的根，同时，x节点移动到右树R中，显然右树上的节点都大于所要查找的节点。

2.2 zig-zig旋转

如上图所示，x节点的左子节点y，y的左子节点z，三者在一字型链上，且要查找的节点位于z节点为根的子树中。此时，对x节点和y节点进行zig，然后对z和y进行zig，使z成为中树的根，同时将y及其子树挂载到右树R上。

2.3 zig-zag旋转

如上图所示，x节点的左子节点y，y的右子节点z，三者在之字型链上，且需要查找的元素位于以z为根的子树上。此时，先对x节点和y节点进行zig旋转，将x及其右子树挂载到右树R上，此时y成为中树的根节点;然后再对z节点和y节点进行zag旋转，使得z成为中树的根节点。

2.4 合并

最后，找到节点或者遇到空节点之后，需要对左、中、右树进行合并。如图所示，将左树挂载到中树的最左下方(满足遍历顺序要求)，将右树挂载到中树的最右下方(满足遍历顺序要求)。

伸展树的实现

1.节点

public class SplayTree<T extends Comparable<T>> { 
    private SplayTreeNode<T> mRoot;    // 根结点 
 
    public class SplayTreeNode<T extends Comparable<T>> { 
        T key;                // 关键字(键值) 
        SplayTreeNode<T> left;    // 左孩子 
        SplayTreeNode<T> right;    // 右孩子 
 
        public SplayTreeNode() { 
            this.left = null; 
            this.right = null; 
        } 
 
        public SplayTreeNode(T key, SplayTreeNode<T> left, SplayTreeNode<T> right) { 
            this.key = key; 
            this.left = left; 
            this.right = right; 
        } 
    } 
}

SplayTree是伸展树，而SplayTreeNode是伸展树节点。在此，我将SplayTreeNode定义为SplayTree的内部类。在伸展树SplayTree中包含了伸展树的根节点mRoot。SplayTreeNode包括的几个组成元素:

key – 是关键字，是用来对伸展树的节点进行排序的。
left – 是左孩子。
right – 是右孩子。

2.旋转

/* 
* 旋转key对应的节点为根节点，并返回根节点。 
* 
* 注意： 
*   (a)：伸展树中存在"键值为key的节点"。 
*          将"键值为key的节点"旋转为根节点。 
*   (b)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key < tree.key。 
*      b-1 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，将"键值为key的节点"的前驱节点旋转为根节点。 
*      b-2 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，则意味着，key比树中任何键值都小，那么此时，将最小节点旋转为根节点。 
*   (c)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key > tree.key。 
*      c-1 "键值为key的节点"的后继节点存在的话，将"键值为key的节点"的后继节点旋转为根节点。 
*      c-2 "键值为key的节点"的后继节点不存在的话，则意味着，key比树中任何键值都大，那么此时，将最大节点旋转为根节点。 
*/ 
   private SplayTreeNode<T> splay(SplayTreeNode<T> tree, T key) { 
       if (tree == null) 
           return tree; 
 
       SplayTreeNode<T> N = new SplayTreeNode<T>(); 
       SplayTreeNode<T> l = N; 
       SplayTreeNode<T> r = N; 
       SplayTreeNode<T> c; 
 
       for (; ; ) { 
           int cmp = key.compareTo(tree.key); 
           if (cmp < 0) { 
               if (key.compareTo(tree.left.key) < 0) { 
                   c = tree.left;                           /* rotate right */ 
                   tree.left = c.right; 
                   c.right = tree; 
                   tree = c; 
                   if (tree.left == null) 
                       break; 
               } 
               r.left = tree;                               /* link right */ 
               r = tree; 
               tree = tree.left; 
           } else if (cmp > 0) { 
 
               if (tree.right == null) 
                   break; 
 
               if (key.compareTo(tree.right.key) > 0) { 
                   c = tree.right;                          /* rotate left */ 
                   tree.right = c.left; 
                   c.left = tree; 
                   tree = c; 
                   if (tree.right == null) 
                       break; 
               } 
 
               l.right = tree;                              /* link left */ 
               l = tree; 
               tree = tree.right; 
           } else { 
               break; 
           } 
       } 
       l.right = tree.left;                                /* assemble */ 
       r.left = tree.right; 
       tree.left = N.right; 
       tree.right = N.left; 
 
       return tree; 
   } 
 
   public void splay(T key) { 
       mRoot = splay(mRoot, key); 
   }

上面的代码的作用：将”键值为key的节点”旋转为根节点，并返回根节点。它的处理情况共包括：

(a)：伸展树中存在”键值为key的节点”。

将”键值为key的节点”旋转为根节点。

(b)：伸展树中不存在”键值为key的节点”，并且key < tree->key。

b-1) “键值为key的节点”的前驱节点存在的话，将”键值为key的节点”的前驱节点旋转为根节点。

b-2) “键值为key的节点”的前驱节点存在的话，则意味着，key比树中任何键值都小，那么此时，将最小节点旋转为根节点。

(c)：伸展树中不存在”键值为key的节点”，并且key > tree->key。

c-1) “键值为key的节点”的后继节点存在的话，将”键值为key的节点”的后继节点旋转为根节点。

c-2) “键值为key的节点”的后继节点不存在的话，则意味着，key比树中任何键值都大，那么此时，将最大节点旋转为根节点。

下面列举个例子分别对a进行说明。

在下面的伸展树中查找10，，共包括”右旋” –> “右链接” –> “组合”这3步。

01, 右旋

对应代码中的”rotate right”部分

02, 右链接

对应代码中的”link right”部分

03.组合

对应代码中的”assemble”部分

提示：如果在上面的伸展树中查找”70”，则正好与”示例1”对称，而对应的操作则分别是”rotate left”, “link left”和”assemble”。

其它的情况，例如”查找15是b-1的情况，查找5是b-2的情况”等等，这些都比较简单，大家可以自己分析。

3.插入

/** 
     * 将结点插入到伸展树中，并返回根节点 
     * @param tree 伸展树的根节点 
     * @param z 插入的结点 
     * @return 
     */ 
    private SplayTreeNode<T> insert(SplayTreeNode<T> tree, SplayTreeNode<T> z) { 
        int cmp; 
        SplayTreeNode<T> y = null; 
        SplayTreeNode<T> x = tree; 
 
        // 查找z的插入位置 
        while (x != null) { 
            y = x; 
            cmp = z.key.compareTo(x.key); 
            if (cmp < 0) 
                x = x.left; 
            else if (cmp > 0) 
                x = x.right; 
            else { 
                System.out.printf("不允许插入相同节点(%d)!\n", z.key); 
                z = null; 
                return tree; 
            } 
        } 
 
        if (y == null) 
            tree = z; 
        else { 
            cmp = z.key.compareTo(y.key); 
            if (cmp < 0) 
                y.left = z; 
            else 
                y.right = z; 
        } 
 
        return tree; 
    } 
 
    public void insert(T key) { 
        SplayTreeNode<T> z = new SplayTreeNode<T>(key, null, null); 
 
        // 如果新建结点失败，则返回。 
        if ((z = new SplayTreeNode<T>(key, null, null)) == null) 
            return; 
 
        // 插入节点 
        mRoot = insert(mRoot, z); 
        // 将节点(key)旋转为根节点 
        mRoot = splay(mRoot, key); 
    }

insert(key)是提供给外部的接口，它的作用是新建节点(节点的键值为key)，并将节点插入到伸展树中;然后，将该节点旋转为根节点。

insert(tree, z)是内部接口，它的作用是将节点z插入到tree中。insert(tree, z)在将z插入到tree中时，仅仅只将tree当作是一棵二叉查找树，而且不允许插入相同节点。

4.删除

/** 
     *  
     * @param tree 伸展树 
     * @param key 删除的结点 
     * @return 
     */ 
    private SplayTreeNode<T> remove(SplayTreeNode<T> tree, T key) { 
        SplayTreeNode<T> x; 
 
        if (tree == null) 
            return null; 
 
        // 查找键值为key的节点，找不到的话直接返回。 
        if (search(tree, key) == null) 
            return tree; 
 
        // 将key对应的节点旋转为根节点。 
        tree = splay(tree, key); 
 
        if (tree.left != null) { 
            // 将"tree的前驱节点"旋转为根节点 
            x = splay(tree.left, key); 
            // 移除tree节点 
            x.right = tree.right; 
        } 
        else 
            x = tree.right; 
 
        tree = null; 
 
        return x; 
    } 
 
    public void remove(T key) { 
        mRoot = remove(mRoot, key); 
    }

remove(key)是外部接口，remove(tree, key)是内部接口。

remove(tree, key)的作用是：删除伸展树中键值为key的节点。

它会先在伸展树中查找键值为key的节点。若没有找到的话，则直接返回。若找到的话，则将该节点旋转为根节点，然后再删除该节点。

伸展树实现完整代码

public class SplayTree<T extends Comparable<T>> {     
    private SplayTreeNode<T> mRoot;    // 根结点 
 
    public class SplayTreeNode<T extends Comparable<T>> { 
        T key;                // 关键字(键值) 
        SplayTreeNode<T> left;    // 左孩子 
        SplayTreeNode<T> right;    // 右孩子 
 
        public SplayTreeNode() { 
            this.left = null; 
            this.right = null; 
        } 
 
        public SplayTreeNode(T key, SplayTreeNode<T> left, SplayTreeNode<T> right) { 
            this.key = key; 
            this.left = left; 
            this.right = right; 
        } 
    } 
 
    /* 
 * 旋转key对应的节点为根节点，并返回根节点。 
 * 
 * 注意： 
 *   (a)：伸展树中存在"键值为key的节点"。 
 *          将"键值为key的节点"旋转为根节点。 
 *   (b)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key < tree.key。 
 *      b-1 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，将"键值为key的节点"的前驱节点旋转为根节点。 
 *      b-2 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，则意味着，key比树中任何键值都小，那么此时，将最小节点旋转为根节点。 
 *   (c)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key > tree.key。 
 *      c-1 "键值为key的节点"的后继节点存在的话，将"键值为key的节点"的后继节点旋转为根节点。 
 *      c-2 "键值为key的节点"的后继节点不存在的话，则意味着，key比树中任何键值都大，那么此时，将最大节点旋转为根节点。 
 */ 
    private SplayTreeNode<T> splay(SplayTreeNode<T> tree, T key) { 
        if (tree == null) 
            return tree; 
 
        SplayTreeNode<T> N = new SplayTreeNode<T>(); 
        SplayTreeNode<T> l = N; 
        SplayTreeNode<T> r = N; 
        SplayTreeNode<T> c; 
 
        for (; ; ) { 
            int cmp = key.compareTo(tree.key); 
            if (cmp < 0) { 
                if (key.compareTo(tree.left.key) < 0) { 
                    c = tree.left;                           /* rotate right */ 
                    tree.left = c.right; 
                    c.right = tree; 
                    tree = c; 
                    if (tree.left == null) 
                        break; 
                } 
                r.left = tree;                               /* link right */ 
                r = tree; 
                tree = tree.left; 
            } else if (cmp > 0) { 
 
                if (tree.right == null) 
                    break; 
 
                if (key.compareTo(tree.right.key) > 0) { 
                    c = tree.right;                          /* rotate left */ 
                    tree.right = c.left; 
                    c.left = tree; 
                    tree = c; 
                    if (tree.right == null) 
                        break; 
                } 
 
                l.right = tree;                              /* link left */ 
                l = tree; 
                tree = tree.right; 
            } else { 
                break; 
            } 
        } 
        l.right = tree.left;                                /* assemble */ 
        r.left = tree.right; 
        tree.left = N.right; 
        tree.right = N.left; 
 
        return tree; 
    } 
 
    public void splay(T key) { 
        mRoot = splay(mRoot, key); 
    } 
 
 
 
    /** 
     * 将结点插入到伸展树中，并返回根节点 
     * @param tree 伸展树的根节点 
     * @param z 插入的结点 
     * @return 
     */ 
    private SplayTreeNode<T> insert(SplayTreeNode<T> tree, SplayTreeNode<T> z) { 
        int cmp; 
        SplayTreeNode<T> y = null; 
        SplayTreeNode<T> x = tree; 
 
        // 查找z的插入位置 
        while (x != null) { 
            y = x; 
            cmp = z.key.compareTo(x.key); 
            if (cmp < 0) 
                x = x.left; 
            else if (cmp > 0) 
                x = x.right; 
            else { 
                System.out.printf("不允许插入相同节点(%d)!\n", z.key); 
                z = null; 
                return tree; 
            } 
        } 
 
        if (y == null) 
            tree = z; 
        else { 
            cmp = z.key.compareTo(y.key); 
            if (cmp < 0) 
                y.left = z; 
            else 
                y.right = z; 
        } 
 
        return tree; 
    } 
 
    public void insert(T key) { 
        SplayTreeNode<T> z = new SplayTreeNode<T>(key, null, null); 
 
        // 如果新建结点失败，则返回。 
        if ((z = new SplayTreeNode<T>(key, null, null)) == null) 
            return; 
 
        // 插入节点 
        mRoot = insert(mRoot, z); 
        // 将节点(key)旋转为根节点 
        mRoot = splay(mRoot, key); 
    } 
 
    /* 
 * 删除结点(z)，并返回被删除的结点 
 * 
 * 参数说明： 
 *     bst 伸展树 
 *     z 删除的结点 
 */ 
 
    /** 
     * 
     * @param tree 伸展树 
     * @param key 删除的结点 
     * @return 
     */ 
    private SplayTreeNode<T> remove(SplayTreeNode<T> tree, T key) { 
        SplayTreeNode<T> x; 
 
        if (tree == null) 
            return null; 
 
        // 查找键值为key的节点，找不到的话直接返回。 
        if (search(tree, key) == null) 
            return tree; 
 
        // 将key对应的节点旋转为根节点。 
        tree = splay(tree, key); 
 
        if (tree.left != null) { 
            // 将"tree的前驱节点"旋转为根节点 
            x = splay(tree.left, key); 
            // 移除tree节点 
            x.right = tree.right; 
        } 
        else 
            x = tree.right; 
 
        tree = null; 
 
        return x; 
    } 
 
    public void remove(T key) { 
        mRoot = remove(mRoot, key); 
    } 
 
    /* 
    * (递归实现)查找"伸展树x"中键值为key的节点 
    */ 
    private SplayTreeNode<T> search(SplayTreeNode<T> x, T key) { 
        if (x==null) 
            return x; 
 
        int cmp = key.compareTo(x.key); 
        if (cmp < 0) 
            return search(x.left, key); 
        else if (cmp > 0) 
            return search(x.right, key); 
        else 
            return x; 
    } 
 
    public SplayTreeNode<T> search(T key) { 
        return search(mRoot, key); 
    } 
 
    /* 
   * 查找最小结点：返回tree为根结点的伸展树的最小结点。 
   */ 
    private SplayTreeNode<T> minimum(SplayTreeNode<T> tree) { 
        if (tree == null) 
            return null; 
 
        while(tree.left != null) 
            tree = tree.left; 
        return tree; 
    } 
 
    public T minimum() { 
        SplayTreeNode<T> p = minimum(mRoot); 
        if (p != null) 
            return p.key; 
 
        return null; 
    } 
 
    /* 
     * 查找最大结点：返回tree为根结点的伸展树的最大结点。 
     */ 
    private SplayTreeNode<T> maximum(SplayTreeNode<T> tree) { 
        if (tree == null) 
            return null; 
 
        while(tree.right != null) 
            tree = tree.right; 
        return tree; 
    } 
 
    public T maximum() { 
        SplayTreeNode<T> p = maximum(mRoot); 
        if (p != null) 
            return p.key; 
 
        return null; 
    }