我们展示了深度线性网络(使用浮点运算实现)实际上并不是线性的，它可以执行非线性计算。我们利用这一点使用进化策略在线性网络中寻找参数，使我们能够解决重要问题。
神经网络通常由一个线性层和非线性函数(比如 tanh 和修正线性单元 ReLU)堆栈而成。如果没有非线性，理论上一连串的线性层和单一的线性层在数学上是等价的。因此浮点运算是非线性的，并足以训练深度网络。这很令人惊讶。
背景
计算机使用的数字并不是***的数学对象，而是使用有限个比特的近似表示。浮点数通常被计算机用于表示数学对象。每一个浮点数由小数和指数的组合构成。在 IEEE 的 float32 标准中，小数分配了 23 个比特，指数分配了 8 个比特，还有一个比特是表示正负的符号位 sign。
按照这种惯例和二进制格式，以二进制表示的最小非零正常数是 1.0..0 x 2^-126，以下用 min 来指代。而下一个可表示的数是 1.0..01 x 2^-126，可以写作 min+0.0..01 x 2^-126。很显然，***和第二个数之间的 gap 比 0 和 min 之间的 gap 小了 2^20 倍。在 float32 标准中，当一个数比最小的可表示数还小的时候，则该数字将被映射为零。因此，近邻零的所有包含浮点数的计算都将是非线性的。(而反常数是例外，它们在一些计算硬件上可能不可用。在我们的案例中通过设置归零(flush to zero，FTZ)解决这个问题，即将所有的反常数当成零。)
因此，虽然通常情况下，所有的数字和其浮点数表示之间的区别很小，但是在零附近会出现很大的 gap，而这个近似误差可能带来很大影响。
这会导致一些奇怪的影响，一些常用的数学规则无法发挥作用。比如，(a + b) x c 不等于 a x c + b x c。
比如，如果你设置 a = 0.4 x min，b = 0.5 x min，c = 1 / min。
则：(a+b) x c = (0.4 x min + 0.5 x min) x 1 / min = (0 + 0) x 1 / min = 0。
然而：(a x c) + (b x c) = 0.4 x min / min + 0.5 x min x 1 / min = 0.9。
再比如，我们可以设置 a = 2.5 x min，b = -1.6 x min，c = 1 x min。
则：(a+b) + c = (0) + 1 x min = min
然而：(b+c) + a = (0 x min) + 2.5 x min = 2.5 x min。
在这种小尺度的情况下，基础的加法运算变成非线性的了!
使用进化策略利用非线性
我们想知道这种内在非线性是否可以作为计算非线性的方法，如果可以，则深度线性网络能够执行非线性运算。挑战在于现代微分库在非线性尺度较小时会忽略它们。因此，使用反向传播利用非线性训练神经网络很困难或不可能。
我们可以使用进化策略(ES)，无需依赖符号微分(symbolic differentiation)法就可以评估梯度。使用进化策略，我们可以将 float32 的零点邻域(near-zero)行为作为计算非线性的方法。深度线性网络通过反向传播在 MNIST 数据集上训练时，可获取 94% 的训练准确率和 92% 的测试准确率(机器之心使用三层全连接网络可获得 98.51% 的测试准确率)。相对而言，相同的线性网络使用进化策略训练可获取大于 99% 的训练准确率、96.7% 的测试准确率，确保激活值足够小而分布在 float32 的非线性区间内。训练性能的提升原因在于在 float32 表征中使用非线性的进化策略。这些强大的非线性允许任意层生成新的特征，这些特征是低级别特征的非线性组合。以下是网络结构：
- x = tf . placeholder ( dtype = tf . float32 , shape =[ batch_size , 784 ])
- y = tf . placeholder ( dtype = tf . float32 , shape =[ batch_size , 10 ])
- w1 = tf . Variable ( np . random . normal ( scale = np . sqrt ( 2. / 784 ), size =[ 784 , 512 ]). astype ( np . float32 ))
- b1 = tf . Variable ( np . zeros ( 512 , dtype = np . float32 ))
- w2 = tf . Variable ( np . random . normal ( scale = np . sqrt ( 2. / 512 ), size =[ 512 , 512 ]). astype ( np . float32 ))
- b2 = tf . Variable ( np . zeros ( 512 , dtype = np . float32 ))
- w3 = tf . Variable ( np . random . normal ( scale = np . sqrt ( 2. / 512 ), size =[ 512 , 10 ]). astype ( np . float32 ))
- b3 = tf . Variable ( np . zeros ( 10 , dtype = np . float32 ))
- params = [ w1 , b1 , w2 , b2 , w3 , b3 ]
- nr_params = sum ([ np . prod ( p . get_shape (). as_list ()) for p in params ])
- scaling = 2 ** 125
- def get_logits ( par ):
- h1 = tf . nn . bias_add ( tf . matmul ( x , par [ 0 ]), par [ 1 ]) / scaling
- h2 = tf . nn . bias_add ( tf . matmul ( h1 , par [ 2 ]) , par [ 3 ] / scaling )
- o = tf . nn . bias_add ( tf . matmul ( h2 , par [ 4 ]), par [ 5 ]/ scaling )* scaling
- return o
在上面的代码中，我们可以看出该网络一共 4 层，***层为 784(28*28)个输入神经元，这个数量必须和 MNIST 数据集中单张图片所包含像素点数相同。第二层与第三层都为隐藏层且每层有 512 个神经元，***一层为输出的 10 个分类类别。其中每两层之间的全连接权重为服从正态分布的随机初始化值。nr_params 为加和所有参数的累乘。下面定义一个 get_logist() 函数，该函数的输入变量 par 应该可以是上面定义的 nr_params，因为定义添加偏置项的索引为 1、3、5，这个正好和前面定义的 nr_params 相符，但 OpenAI并没有给出该函数的调用过程。该函数***个表达式计算***层和第二层之间的前向传播结果，即计算输入 x 与 w1 之间的乘积再加上缩放后的偏置项(前面 b1、b2、b3 都定义为零向量)。后面两步的计算也基本相似，***返回的 o 应该是图片识别的类别。不过 OpenAI 只给出了网络架构，而并没有给出优化方法和损失函数等内容。
