今日面试题：忘我之乘积
给你一个数组A[1..n]，请你在O(n)的时间里构造一个新的数组B[1..n]，使得B[i]=A[1]*A[2]*...*A[n]/A[i]。你不能使用除法运算。
蓄水池抽样（Reservoir Sampling)问题分析
问题：
要求从N个元素中随机的抽取k个元素，其中N无法确定。
这种应用的场景一般是数据流的情况下，由于数据只能被读取一次，而且数据量很大，并不能全部保存，因此数据量N是无法在抽样开始时确定的；但又要保持随机性，于是有了这个问题。所以搜索网站有时候会问这样的问题。
这里的核心问题就是“随机”，怎么才能是随机的抽取元素呢？我们设想，买彩票的时候，由于所有彩票的中奖概率都是一样的，所以我们才是“随机的”买彩票。那么要使抽取数据也随机，必须使每一个数据被抽样出来的概率都一样。
分析：
由于N无法确定，数据只能读取一次，并且要求随机，就是每个元素抽出的概率一样，都是k/N。
面试的时候，经常会在纸上通过一个小的例子来找到好的解决方案。比如先让你从100个元素中等概率抽取出10个元素。后来又向集合中添加了20个元素，变成了120个元素等概率抽取10个，怎么样才能随着N的动态改变而让N无论等于多少时这N个元素都等概率被抽取呢？
解法一：最小k个指纹
找到一个哈希函数能产生随机数，同时用一个k个元素的堆用来保存最小的k个元素。那么过一遍所有的元素，计算每个的哈希值，通过堆来选择k个元素。
这个算法看起来很精妙，会有什么问题吗？（思考）
解法二：数学计算
先选中前k个， 从第k+1个元素到最后一个元素为止， 以1/i (i=k+1, k+2,...,N) 的概率选中第i个元素， 并且随机替换掉一个原先选中的元素， 这样遍历一次得到k个元素， 可以保证完全随机选取。
看来简单的算法，怎么能确保每个元素被选中的概率是k/N？
任意元素G在i轮留下来的概率：
- P(G留下) = P(G已经存在) * P(G没有被替换)
- = P(G已经存在) * (1 - P(G被替换))
- = P(G已经存在) * (1 - P(第i个元素要替换某个元素) * P(某个元素是G))
- = (k/i) * (1 - (k/(i+1)) * (1/k))
- = (k/i) * (1 - (1/(i+1)))
- = (k/i) * (i/(i+1))
- = (k/(i+1))
证毕！
这个题有很多的变种，比如，
给你一个长度为N的链表。N很大，但你不知道N有多大。你的任务是从这N个元素中随机取出k个元素。你只能遍历这个链表一次。你的算法必须保证取出的元素恰好有k个，且它们是完全随机的（出现概率均等）。
从一个不知长度的文件中随机抽出k行。
从实时的搜索词中随机抽出k个词。
