对连续概率分布的一个常见误解 原创

考虑下面这个连续概率分布的概率密度函数，它表示的是从A点到B点可能花费的时间。

这是一个连续随机变量t取值区间为[1,5]的均匀分布，其概率密度函数可以表示成下面形式。

那么，问题来了！

Q）他从A点到达B点花费3分钟的概率P(T=3)是多少？

哇哦！上述答案都是错的，正确答案是：0。

有的人可能会立马抗议，并表示为什么在掷色子中每个点的概率就是1/6呢？

因为掷色子实验结果是离散的，离散随机变量的概率分布称为概率质量函数（PMF），PMF中的每个值代表的就是概率。

而连续随机变量的概率分布称为概率密度函数（PDF），PDF中每个点对应的值不是概率，而是概率密度，也就是在该点附近取值的相对可能性。

是不是有点绕？不过没关系，只要知道它不是概率就行了，后面我们讲似然的时候还会提到。

对于概率密度函数，我们只能通过积分来计算某个区间的概率。

例如，一个人从A点到达B点花费2到4分钟的概率。

扩展阅读

似然vs概率

首先让我们先来看一下概率和似然的区别。

先来看下剑桥词典给出的解释。

● Probability: the level of possibility of something happening or being true.

● Likelihood: the chance that something will happen.

这两个概念非常容易被混淆，在字典中似然被解释成概率的代名词。

然而，在统计学中，似然和概率却有着非常大的区别。

概率通常用于预测一个事件发生的可能性。

例如，掷色子出现偶数的概率，机器学习模型预测输入是猫的概率。

在计算概率时，模型的参数是已知的，并且是可信的。

例如，我们计算抛硬币正反面的概率时，通常会假设并且相信硬币是无偏的。

相反，似然用于解释已经发生的事件。

与概率不同（参数已知，且可信），似然是在已知观测数据下，帮助我们判定参数是否可靠。

例如，我们将在2D数据上拟合一条直线，参数是斜率m和截距c。

在此，似然被定义为数据点为某些特定参数值提供的支持。

当m=2，c=1时，观测数据的似然是多少？

当m=3，c=2时，观测数据的似然是多少？

最大似然估计（MLE）

上面的定义就被应用到了最大似然估计（MLE）中。

MLE用于根据已知的观测数据来估计模型的参数。其核心思想是，通过寻找使观测数据最有可能（即似然最大）的参数值。

举个例子。

线性回归模型的参数有多种求解方法，例如，最小二乘法（OLS），梯度下降法。

今天我们应用概率方法，用最大似然估计（MLE）来求解模型的参数。

1. 定义模型

β0、β1为待求解参数。

假设误差项服从正太分布：

也就是说y服从正太分布：

y的概率密度函数为：

2.构造似然函数

根据独立同分布假设，整个数据集的似然函数就是各个数据点在PDF中对应概率密度的乘积：

带入f：

3.取对数似然

根据对数函数的性质，可以将上述似然函数转换为对数似然函数：

进一步简化：

4.最大化似然函数

对数似然函数对参数导数，并令导数为零，得到参数的最大似然估计值：

本文转载自公众号人工智能大讲堂 

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